Question

【題目】如圖，曲線y1拋物線的一部分，且表達(dá)式為：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲線y2與曲線y1關(guān)于直線x=3對(duì)稱．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線y2的表達(dá)式;
（2）過點(diǎn)D作CD∥x軸交曲線y1于點(diǎn)D，連接AD，在曲線y2上有一點(diǎn)M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);
（3）設(shè)直線CM與x軸交于點(diǎn)N，試問在線段MN下方的曲線y2上是否存在一點(diǎn)P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y1=（x2﹣2x﹣3）中，令y1=0，則有0=（x2﹣2x﹣3），解得x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

又∵C為與y軸的交點(diǎn)，

∴C（0，），

又曲線y2與曲線y1關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

∴曲線y2可由曲線y1關(guān)向右平移3個(gè)單位得到，

∴y2=(X2-10X+21)（x≥3）

（2）

解：

若AD垂直平分CM，則可知CDMA為菱形，此時(shí)點(diǎn)M（1，0），顯然不在y2上；

故直線CM垂直平分AD，取AD中點(diǎn)P，易求其坐標(biāo)為（1，），

故直線CN的解析式為：yCN=x-，

求其與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)：，

解得：x1=，x2=（不合舍去），

∴x=

（3）

解：

因?yàn)镸N的長(zhǎng)度固定，故點(diǎn)P到MN的距離最大時(shí)，△PMN的面積最大，

∴可設(shè)另一直線y=x+b與y2相交于點(diǎn)P，很顯然它們只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足條件．

即：只有唯一一個(gè)解的時(shí)候，這個(gè)點(diǎn)就是點(diǎn)P，

即方程x+b=（x2﹣10x+21）有唯一一個(gè)解，

解得：x=，

將x=代入y2=(X2-10X+21)，解得y=,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)

【解析】（1）對(duì)點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)的意義要明白，點(diǎn)A與點(diǎn)B是二次函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是縱軸的交點(diǎn)，關(guān)于x=3意義的理解，就是將y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）進(jìn)行了平移，從而可求得拋物線y2的解析式；
（2）要理解，只有當(dāng)CM垂直平分AD時(shí)，才能在y2找到點(diǎn)M，故點(diǎn)M即為直線（C與AD的中點(diǎn)P連線）的交點(diǎn)；
（3）顯然MN的值固定，即在y2上的點(diǎn)，到CM的距離最大的點(diǎn)，即與CM平行的直線與y2只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即為所求．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的平移和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握對(duì)應(yīng)線段,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或在同一直線上）且相等；對(duì)應(yīng)角相等；平移方向和距離是它的兩要素；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題．