Question

【題目】已知如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3，3），與x軸正半軸交于B點，與y軸交于C點，△ABC的外接圓恰好經(jīng)過原點O.

（1）求B點的坐標及二次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上一點Q（m，m+3），（m為整數(shù)），點M為△ABC的外接圓上一動點，求線段QM長度的范圍；

（3）將△AOC繞平面內(nèi)一點P旋轉(zhuǎn)180°至△A'O'C'（點O'與O為對應點），使得該三角形的對應點中的兩個點落在的圖象上，求出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（4,0）；；（2）≤QM≤；（3）、

【解析】

（1）過點A作AD⊥y軸于點D，AE⊥x軸于點E，求證△ACD≌△ABE，進而求得點B坐標，再將A、B兩點坐標代入二次函數(shù)解析式，即可解答；

（2）將點Q（m，m+3）代入二次函數(shù)解析式，求得m的值，進而且得點Q坐標，根據(jù)圓的性質(zhì)得到BC是圓N的直徑，利用勾股定理即可求得BC，進而求得N的坐標，再利用勾股定理求得QN的長，確定取值范圍即可；

（3）分兩種情況：當點A的對稱點，點O的對稱點在拋物線上時，利用旋轉(zhuǎn)180°可知，∥，設點的橫坐標為m，則點的橫坐標為m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋轉(zhuǎn)中心和線段中點的特點，即可求得旋轉(zhuǎn)中心P的坐標；當點A的對稱點，點C的對稱點在拋物線上時，設點的橫坐標為m，則點的橫坐標為m-3，同理可求得m的值以及旋轉(zhuǎn)中心P的坐標.

（1）解：如圖，過點A作AD⊥y軸于點D，AE⊥x軸于點E，

∴∠ADC=∠AEB=90°

∵二次函數(shù)與y軸交于點C，

點C坐標為（0，2）

∵點A坐標（3，3）

∴DA=AE=3

∵∠DAC+∠CAE=90°

∠EAB+∠CAE=90°

∴∠DAC=∠EAB

∴△ACD≌△ABE

∴EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

∴點B的坐標為（4，0）

將A（3，3）B（4，0）代入二次函數(shù)中

得：

解得：

二次函數(shù)的解析式為：

（2）將點Q（m，m+3）代入二次函數(shù)解析式得：

m1=1；m2=（舍）

∴m=1

∴點Q坐標為(1,4)

由勾股定理得：BC=2

設圓的圓心為N

∵圓經(jīng)過點O，且∠COB=90°

∴BC是圓N的直徑，

∴圓N的半徑為，N的坐標為（2,1）

由勾股定理得，QN=

半徑r=，則≤QM≤

（3）當點A的對稱點，點O的對稱點在拋物線上時，如圖

設點的橫坐標為m，則點的橫坐標為m-3

得：

解得：

∴的坐標為（）

∴旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為

當點A的對稱點，點C的對稱點在拋物線上時，如圖

設點的橫坐標為m，則點的橫坐標為m-3

得：

解得：

∴的坐標為（）

∴旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為

綜上所述，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為或