【題目】如圖,等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合),將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ,給出下列結(jié)論:

CD=CP=CQ;②∠PCQ為定值;③△PCQ面積的最小值為;④當(dāng)點(diǎn)DAB的中點(diǎn)時(shí),△PDQ是等邊三角形,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】①由折疊直接得到結(jié)論;②由折疊的性質(zhì)求出∠ACP +∠BCQ=120°,再用周角的定義求出∠PCQ=120°;③先作出△PCQ的邊PC上的高用三角函數(shù)求出QE=CQ,得到S△PCQ =CD2判斷出△PCQ面積最小時(shí),點(diǎn)D的位置,再求△PCQ面積的最小值即可;④先判斷出△APD 是等邊三角形,△BDQ是等邊三角形再求出∠PDQ=60°,即可得結(jié)論.

∵將△ CAD 與△ CBD 分別沿直線 CA、CB 翻折得到△CAP與△CBQ ,

∴CP=CD=CQ,

∴ ①正確;

∵將△ CAD與△CBD 分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP 與△CBQ ,

∴∠ACP=∠ACD,∠BCQ=∠BCD ,

∴∠ACP +∠BCQ=∠ACD +∠BCD=∠ACB=120°,

∴∠ PCQ=360°﹣(∠ACP +BCQ +∠ACB ) =360°﹣(120°+120°) =120°,

∴∠ PCQ 的大小不變;

∴ ② 正確;

如圖,過點(diǎn)QQE ⊥ PC PC延長(zhǎng)線于 E ,

∵∠PCQ=120°,

∴∠QCE=60°,

Rt△QCE , sin∠QCE=,

∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=CQ ,

∵CP=CD=CQ,

∴ S△PCQ =×CP×QE=CP×CQ=CD 2,

∴ CD 最短時(shí),S △ PCQ最小,

:CD ⊥ AB 時(shí),CD最短,

過點(diǎn) C CF ⊥ AB,此時(shí) CF 就是最短的 CD ,

∵ AC=BC=6,∠ ACB=120°,

∴∠ ABC=30°,

∴CF=BC=3,

:CD最短為3,

∴ S △ PCQ最小 =,

∴ ③錯(cuò)誤;

∵將△CAD與△CBD 分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ ,

∴ AD=AP,∠ DAC=∠ PAC,

∵∠ DAC=30°,

∴∠ APD=60°,

∴△ APD是等邊三角形

∴ PD=AD,∠ ADP=60°,

同理:△ BDQ是等邊三角形,

∴ DQ=BD,∠ BDQ=60°,

∴∠ PDQ=60°,

∵當(dāng)點(diǎn)DAB的中點(diǎn),

∴AD=BD,

∴PD=DQ,

∴△DPQ 是等邊三角形.

∴ ④正確.

正確的答案為:①②④ .

故選C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 2分鐘,乙的平均速度比甲快

B. 5分鐘時(shí)兩人都跑了500

C. 甲跑完800米的平均速度為100/

D. 甲乙兩人8分鐘各跑了800

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1當(dāng)行使8千米時(shí),收費(fèi)應(yīng)為 元;

2從圖象上你能獲得哪些信息?(請(qǐng)寫出2)

________

____________________________

3求出收費(fèi)y()與行使x(千米)(x≥3)之間的函數(shù)關(guān)系式.

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③甲組成績(jī)的眾數(shù)>乙組成績(jī)的眾數(shù);

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分?jǐn)?shù)

50

60

70

80

90

100


數(shù)

甲組

2

5

10

13

14

6

乙組

4

4

16

2

12

12

A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種

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