Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°．

（1）在BC邊上作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到邊AB的距離相等（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AC=8，BC=6，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求

（2）解：作PD⊥AB于點(diǎn)，如圖，

∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，

∴PD=PC．

在Rt△ADP和Rt△ACP中

，

∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），

∴AD=AC=8，

在Rt△ABC中，AB= =10，

∴BD=10﹣8=2，

設(shè)PC=x，則PD=x，BP=6﹣x，

在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，

∴（6﹣x）2=x2+22，解得x= ．

答：CP的長(zhǎng)為

【解析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)作圖，作∠BAC的平分線交BC于P點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到邊AB的距離相等。
（2）添加輔助線，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PD=PC，則可證明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則BD=2，設(shè)PC=x，則PD=x，BP=6-x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得建立方程，然后解方程即可。

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．