【題目】如圖,已知:在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與y軸相交于點A(0,m)其中m<0,與x軸相交于點B(4,0).拋物線y=ax2+bx(a>0)的頂點為F,它與直線l相交于點C,其對稱軸分別與直線l和x軸相交于點D和點E.
(1)設(shè)a=,m=﹣2時,
①求出點C、點D的坐標(biāo);
②拋物線y=ax2+bx上是否存在點G,使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形?如果存在,求出點G的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
(2)當(dāng)以F、C、D為頂點的三角形與△BED相似且滿足三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1:3時,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】(1)①(2,﹣1)②(3,﹣ )(2)y=x2﹣4x
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)待定系數(shù)法,可得拋物線的解析式,根據(jù)配方法,可得頂點坐標(biāo);根據(jù)解方程組,可得C點坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得D點坐標(biāo);
②根據(jù)菱形的性質(zhì),可得G點坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的判定,可得答案;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得b與a的關(guān)系,根據(jù)配方法,可得頂點坐標(biāo),根據(jù)平行線分線段成比例,可得OH的長,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得C點坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等,可得∠FCD=90°,根據(jù)相思三角形的性質(zhì),可得關(guān)于a的方程,根據(jù)拋物線的開口向上,可得a的值.
試題解析:(1)①如圖1,
,
當(dāng)a=時,將B點坐標(biāo)代入,得y=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2頂點坐標(biāo)為(2,﹣2);
當(dāng)m=﹣2時,一次函數(shù)的解析式為y=x﹣2.
聯(lián)立拋物線與直線,得
2﹣2x=x﹣2,
解得x=1,當(dāng)x=1時,y=﹣,即C點坐標(biāo)為(1,﹣).
當(dāng)x=2時,y=﹣1,即D點坐標(biāo)為(2,﹣1);
②假設(shè)存在G點,使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形是平行四邊形.
則CG與DF互相平分,而EF是拋物線的對稱軸,且點G在拋物線上
∴CG⊥DF,
∴DCFG是菱形,
∴點C關(guān)于EF的對稱點G(3,﹣ ).
設(shè)DF與CG與DF相交于O′點,則DO′=O′F=,CO′=O′G=1,
∴四邊形DCFG是平行四邊形.
∴拋物線y=ax2+bx上存在點G,使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形,點G的坐標(biāo)為(3,﹣ );
(2)如圖2,
,
∵拋物線y=ax2+bx的圖象過(4,0)點,16a+4b=0,
∴b=﹣4a.
∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a(x﹣2)2﹣4a的對稱軸是x=2,
∴F點坐標(biāo)為(2,﹣4a).
∵三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1:3,
BC:AC=3:1.
過點C作CH⊥OB于H,過點F作FG∥OB,FG與HC交于G點.
則四邊形FGHE是矩形.
由HC∥OA,得BC:AC=3:1.
由HB:OH=3:1,OB=4,OE=EB,得
HE=1,HB=3.
將C點橫坐標(biāo)代入y=ax2﹣4ax,得y=﹣3a.
∴C(1,﹣3a),∴HC=3a,又F(2,﹣4a).
∴GH=4a,GC=a.
在△BED中,∠BED=90°,若△FCD與△BED相似,則△FCD是直角三角形
∵∠FDC=∠BDE<90°,∠CFD<90°,
∴∠FCD=90°.
∴△BHC∽△CGF,
∴,
∴,
∴a2=1,
∴a=±1.
∵a>0,
∴a=1.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點,且BE=DF.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四邊形AECF是菱形,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限.其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上,且AB=12cm
(1)若OB=6cm.①求點C的坐標(biāo);②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等,求滑動的距離;
(2)點C與點O的距離的最大值= cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABE是等腰三角形,AB=AE,∠BAE=45°,過點B作BC⊥AE于點C,在BC上截取CD=CE,連接AD、DE并延長AD交BE于點P;
(1)求證:AD=BE;
(2)試說明AD平分∠BAE;
(3)如圖2,將△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度,那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“知識改變命運(yùn),科技繁榮祖國.”為提升中小學(xué)生的科技素養(yǎng),我區(qū)每年都要舉辦中小學(xué)科技節(jié).為迎接比賽,某校進(jìn)行了宣傳動員并公布了相關(guān)項目如下:
A——桿身橡筋動力模型;B——直升橡筋動力模型;C——空轎橡筋動力模型.右圖為該校報名參加科技比賽的學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計圖.
(1)該校報名參加B項目學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)該校報名參加C項目學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角的度數(shù)是 °;
(3)為確定參加區(qū)科技節(jié)的學(xué) 生人選,該校在集訓(xùn)后進(jìn)行了校內(nèi)選拔賽,最后一輪復(fù)賽,決定在甲、乙2名候選人中選出1人代表學(xué)校參加區(qū)科技節(jié)B項目的比賽,每人進(jìn)行了4次試飛,對照一定的標(biāo)準(zhǔn),判分如下:甲:80,70,100,50;乙:75,80,75,70.如果你是教練,請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)統(tǒng)計量分析派誰代表學(xué)校參賽?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D,E在△ABC的邊BC上,連接AD,AE.下面有三個等式:①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設(shè),另一個作為命題的結(jié)論,相構(gòu)成以下三個命題:命題Ⅰ“如果①②成立,那么③成立”; 命題Ⅱ“如果①③成立,那么②成立”;命題Ⅲ“如果②③成立,那么①成立”.
(1)以上三個命題是真命題的為(直接作答);
(2)請選擇一個真命題進(jìn)行證明(先寫出所選命題,然后證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°.
(1)在BC邊上作一點P,使得點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,若AC=8,BC=6,求CP的長.
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