Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD⊥CD，過點A作AE⊥BD，垂足為點E．
（1）求證：

AD

CB

=

DE

BD

；
（2）如果BD平分∠ABC，求證：AE=

1

2

CD．

Answer 1

分析：（1）由AD與BC平行，根據(jù)兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，由BD⊥CD，AE⊥BD，根據(jù)垂直定義得到一對直角相等，由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形ADE與三角形BCD相似，由相似得比例得證；
（2）過D作DF∥AB，又AD∥BF，得到四邊形ABFD為平行四邊形，由平行得一對內(nèi)錯角相等，由角平分線得到一對角相等，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據(jù)“等角對等邊”得到AD=AB，故四邊形ABFD為菱形，從而得到BF=DF，根據(jù)“等邊對等角”得到∠FDB=∠FBD，由∠DFC為三角形BDF的外角，根據(jù)外角性質(zhì)得到∠DFC=2∠DBC，又由AB與DF平行得到∠DFC=∠ABC=∠C，且∠BDC為直角，故∠ABD=∠DBC=30°，在直角三角形ABE中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE等于AB的一半，又AB=DC，得證．

解答：證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD⊥CD，AE⊥BD，
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴△ADE∽△CBD，
∴

AD

CB

=

DE

BD

；

（2）過D作DF∥AB，交BC于F，
∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABFD為平行四邊形，
∴AB=CD=DF，∴∠DFC=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四邊形ABFD為菱形，
∴BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
又∠DFC為△DFB的外角，
∴∠DFC=∠DBF+∠BDF=2∠DBF，
∴∠C=2∠DBF，又∠BDC=90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABD=30°，
∴在Rt△ABE中，AE=

1

2

AB，
∴AE=

1

2

CD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及梯形的有關(guān)知識．要求學(xué)生掌握梯形常添的四種輔助線的作法：平移腰；作兩條高；延長兩腰交于一點；平移對角線．根據(jù)實際情況靈活選用輔助線的作法．