Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4，
求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：過(guò)A、D兩點(diǎn)作AE⊥BC，DF⊥BC，將梯形分為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形；在△ABC中，根據(jù)內(nèi)角和定理求∠ACB，根據(jù)AD∥BC，AD=CD，可求，∠DCF=∠DCA+∠ACB=60°，在Rt△CDF中求DF，利用AE=DF“過(guò)渡”解Rt△ABE、Rt△ACE，分別求BE、CE，從而可得BC．

解答：解：分別過(guò)A、D兩點(diǎn)作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，
∵∠B=45°，∠BAC=105°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30°，
在Rt△CDF中，∠DCF=∠DCA+∠ACB=60°，CD=4，
∴DF=2

3

，AE=DF=2

3

，
∴在Rt△ABE中，∠B=45°，BE=AE=2

3

，
同理，在Rt△ACE中，CE=

3

AE=6，
∴BC=BE+CE=6+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形作輔助線的方法，梯形的性質(zhì)運(yùn)用，解特殊直角三角形的知識(shí)．