【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,頂點為D,過點A的直線與拋物線交于點E,與y軸交于點F,且點B的坐標為(3,0),點E的坐標為(2,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點G為拋物線對稱軸上的一個動點,H為x軸上一點,當以點C、G、H、F四點所圍成的四邊形的周長最小時,求出這個最小值及點G、H的坐標;
(3)設(shè)直線AE與拋物線對稱軸的交點為P,M為直線AE上的任意一點,過點M作MN∥PD交拋物線于點N,以P、D、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,請求點M的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;(2)G(1,1),H(,0),四邊形CFHG的周長最小值2+2;(3)M的坐標為:M(0,1)或(,)或(,).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的兩點列方程組求拋物線y=﹣x2+bx+c中的系數(shù)b和c,(2)根據(jù)題目的提示可以畫出簡圖,然后表示出以點C、G、H、F四點所圍成的四邊形的周長,在根據(jù)表示出的線段就可以求出最短的周長,對應(yīng)的點G、H的坐標也可得出;(3)根據(jù)題意可以分兩種情況討論,點N在點M的上方或者下方,然后設(shè)出點M,根據(jù)題目給出的條件是否能將P、D、M、N為頂點的四邊形組成平行四邊形,可以根據(jù)平行四邊形對邊相等來入手.
(1)∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(3,0)和(2,3),
∴,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3,
∴y=﹣(x﹣1)2+4,
∴對稱軸為x=1.
當y=0時,﹣x2+2x+3=0,
∴x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0).
當x=0時,y=3,
∴C(0,3)
∴CE=2.OC=3
如圖,在y軸的負半軸上取一點I,使得點F點I關(guān)于x軸對稱,在x軸上取點H,連接HF、HI、HG、GC、GE、則HF=HI.
∵拋物線的對稱軸為x=1,
∴點C點E關(guān)于對稱軸x=1對稱,
∴CG=EG.
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得:,
∴直線AE的解析式為y=x+1.
當x=0時,y=1,
∴F(0,1),
∴OF=1,CF=2.
∵點F與點I關(guān)于x軸對稱,
∴I(0,﹣1),
∴OI=1,CI=4.
在Rt△CIE中,由勾股定理,得
EI==2.
∵要使四邊形CFHG的周長最小,而CF是定值,
∴只要使CG+GH+HF最小即可.
∵CG+GH+HF=EG+GH+HI,
∴只有當EI為一條直線時,EG+GH+HI最。
設(shè)EI的解析式為y=k1x+b1,由題意,得
,
解得:,
∴直線EI的解析式為:y=2x﹣1,
∵當x=1時,y=1,
∴G(1,1).
∵當y=0時,x,
∴H(,0),
∴四邊形CFHG的周長最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2;
(3)∵y=﹣x2+2x+3,
∴y=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4)
∴直線AE的解析式為y=x+1.
∴x=1時,y=2,
∴P(1,2),
∴PD=2.
∵四邊形DPMN是平行四邊形,
∴PD=MN=2.
∵點M在AE上,設(shè)M(x,x+1),
①當點M在線段AE上時,點N點M的上方,則N(x,x+3),
∵N點在拋物線上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得:x=0或x=1(舍去)
∴M(0,1).
②當點M在線段AE或EA的延長線上時,點N在M的下方,則N(x,x﹣1).
∵N點在拋物線上,
∴x﹣1=﹣x2+2x+3,
解得:x=或x=,
∴M(,)或(,).
∴M的坐標為:M(0,1)或(,)或(,).
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【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,動點P從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動,同時動點Q從B點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動,當P運動到B點時,P、Q兩點同時停止運動.設(shè)P點運動的時間為t,△APQ的面積為S,則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是【 】
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【題目】下列說法中,錯誤的是( )
A. 二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線
B. 二次函數(shù)的圖象必在軸上方
C. 二次函數(shù)圖象的對稱軸是軸或與軸平行的直線
D. 二次函數(shù)圖象的頂點必在圖象的對稱軸上
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【題目】(1)如圖,邊長為a、b的矩形,它的周長為14,面積為10,求a2b+3a3b3+ab2的值;
(2)已知a+b=8,ab=16+c2,求(a﹣b+c)2018的值.
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【題目】如圖,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要證明△ABC≌△DEF,需要添加一個條件為_______(只添加一個條件即可);
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【題目】某公司在北部灣經(jīng)濟區(qū)農(nóng)業(yè)示范基地采購A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品,已知A種農(nóng)產(chǎn)品每千克的進價比B種多2元,且用24000元購買A種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量(按重量計)與用18000元購買B種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量(按重量計)相同.
(1)求A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品每千克的進價分別是多少元?
(2)該公司計劃購進A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40噸,并運往異地銷售,運費為500元/噸,已知A種農(nóng)產(chǎn)品售價為15元/kg,B種農(nóng)產(chǎn)品售價為12元/kg,其中A種農(nóng)產(chǎn)品至少購進15噸且不超過B種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量,問該公司應(yīng)如何采購才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】如圖所示,已知等邊△ABC的兩個頂點的坐標為A(-4,0),B(2,0).
(1)用尺規(guī)作圖作出點C,并求出點C的坐標;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】如圖所示,小蘭用尺規(guī)作圖作△ABC邊AC上的高BH,作法如下:
①分別以點DE為圓心,大于DE的一半長為半徑作弧兩弧交于F;
②作射線BF,交邊AC于點H;
③以B為圓心,BK長為半徑作弧,交直線AC于點D和E;
④取一點K使K和B在AC的兩側(cè);
所以BH就是所求作的高.其中順序正確的作圖步驟是( )
A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①;②;③;④,其中正確的結(jié)論的序號是( )
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④
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