Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，且點(diǎn)D與點(diǎn)C在直線AB的兩側(cè)，連接CD．

（1）如圖1，若∠ABC=30°，則∠CAD的度數(shù)為________．

（2）已知AC=1，BC=3．

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②求CD的長；

（3）用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出即可）．

Answer 1

【答案】（1）105°；（2）①答案見解析；②CD=2；（3）AC+BC=CD．

【解析】試題分析：（1）先判斷出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，進(jìn)而求出∠CBD，最后用鄰補(bǔ)角即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意及基本作圖即可補(bǔ)全圖形；
②構(gòu)造出△ACD≌△BED，進(jìn)而判斷出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出解；

構(gòu)造出△BDH≌△ADG，進(jìn)而判斷出△CDH是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．

試題解析：

（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案為：105°．
（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．

②如圖2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．

∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE為等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=2 ．

如圖2，

∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DAG+∠CAD═180°，
∴∠CBD=∠DAG．
∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，
∴△BDH≌△ADG．
∴DH=DG，BH=AG．
∴∠DCH=∠DCG=45°．
∴△CHD為等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CH=2．
∴CD=2 ．

（3）AC+BC=CD，
理由：如圖2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE為等腰直角三角形．
∴CE= CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：AC+BC＝CD．