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【題目】(1)已知在△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,請畫一條直線,把這個三角形分割成兩個等腰三角形(請你選用下面給出的備用圖把所有不同的分割方法都畫出來.只需畫圖,不必說明理由但要在圖中標出相等兩角的度數).

(2)已知在△ABC中,∠C是其最小的內角,過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關系.

【答案】(1)圖形見解析(2) ∠ABC與∠C之間的關系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意銳角.

【解析】試題分析:(1)已知角度,要分割成兩個等腰三角形,可以運用直角三角形、等腰三角形性質結合三角形內角和定理,先計算出可能的角度,或者先從草圖中確認可能的情況,及角度,然后畫上.
(2)在(1)的基礎上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程,可得出角與角之間的關系.

試題解析:(1)如圖①②(共有2種不同的分割法).

(2)設∠ABC=y,∠C=x,過點B的直線交邊AC于點D.

在△DBC中

若∠C是頂角,如圖,則∠CBD=∠CDB=90°-x,∠A=180°-x-y.

故∠ADB=180°-∠CDB=90°+x>90°,此時只能有∠A=∠ABD,

即180°-x-y=y-,

∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-∠C.

若∠C是底角,

第一種情況:如圖,當DB=DC時,∠DBC=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.

若AB=AD,則2x=y-x此時有y=3x

∴∠ABC=3∠C.

若AB=BD,則180°-x-y=2x,此時有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.

若AD=BD,則180°-x-y=y-x,此時有y=90°,即∠ABC=90°,∠C為小于45°的任意銳角.

第二種情況:如圖,

當BD=BC時,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此時只能有AD=BD,∴∠A=∠ABD=∠BDC=∠C<∠C,這與題設∠C是最小角矛盾.

當∠C是底角時,BD=BC不成立.

綜上所述,∠ABC與∠C之間的關系是∠ABC=135°-∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意銳角.

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