【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式:;
(2)點D為拋物線上對稱軸右側(cè)、x軸上方一點,DE⊥x軸于點E,DF∥AC交拋物線對稱軸于點F,求DE+DF的最大值;
(3)①在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
②點Q在拋物線對稱軸上,其縱坐標為t,請直接寫出△ACQ為銳角三角形時t的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)DE+DF有最大值為;(3)①存在,P的坐標為(,)或(,);②<t<.
【解析】
(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),根據(jù)系數(shù)的關(guān)系,即可解答
(2)先求出當x=0時,C的坐標,設直線AC的解析式為y=px+q,把A,C的坐標代入即可求出AC的解析式,過D作DG垂直拋物線對稱軸于點G,設D(x,﹣x2+2x+3),得出DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,即可解答
(3)①過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P1,求出直線PC的解析式,再結(jié)合拋物線的解析式可求出P1,過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P2,再利用A的坐標求出P2,即可解答
②觀察函數(shù)圖象與△ACQ為銳角三角形時的情況,即可解答
解:(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)當x=0時,y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),設直線AC的解析式為y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,∴直線AC的解析式為y=3x+3,如答圖1,過D作DG垂直拋物線對稱軸于點G,設D(x,﹣x2+2x+3),
∵DF∥AC,
∴∠DFG=∠ACO,易知拋物線對稱軸為x=1,
∴DG=x-1,DF=(x-1),
∴DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,
∴當x=,DE+DF有最大值為;
答圖1 答圖2
(3)①存在;如答圖2,過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P1,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設為y=x+m,把C(0,3)代入得m=3,
∴直線P1C的解析式為y=x+3,解方程組,解得或,則此時P1點坐標為(,);過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P2,直線AP2的解析式可設為y=x+n,把A(﹣1,0)代入得n=,
∴直線PC的解析式為y=,解方程組,解得或,則此時P2點坐標為(,),綜上所述,符合條件的點P的坐標為(,)或(,);
②<t<.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示,若a=2,b=3,現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針,則針尖落在陰影域內(nèi)的概率為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線與軸交于點,與軸交于點拋物線經(jīng)過點、.
(1)求點的坐標和拋物線的解析式.
(2)為軸上一個動點,過點垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點、.
①點在線段上運動,若以、、為頂點的三角形與相似,求點的坐標;
②點在軸上自由運動,若三個點、、中恰有一點是其他兩點所連線段的中點(三點重合除外),則稱、、三點為“共諧點”.請直接寫出使得、、三點成為“共諧點”的的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連結(jié)AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求證:AD是⊙O的切線.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半徑.
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【題目】如圖,在一筆直的海岸線l上有相距2km的A,B兩個觀測站,B站在A站的正東方向上,從A站測得船C在北偏東60°的方向上,從B站測得船C在北偏東30°的方向上,則船C到海岸線l的距離為多少千米?(參考數(shù)據(jù):≈1.732,結(jié)果保留小數(shù)點后一位)
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【題目】如圖1,中,為內(nèi)一點,將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到,點的對應點分別為點,且三點在同一直線上.
(1)填空: (用含的代數(shù)式表示);
(2)如圖2,若,請補全圖形,再過點作于點,然后探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若,且點滿足,直接寫出點到的距離.
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【題目】甲、乙兩人在筆直的公路上問起點、同終點、同方向勻速步行2400米,先到終點的人原地體息已知甲先出發(fā)4分鐘,在整個步行過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與甲出發(fā)的時向t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列說法中正確的是( 。
A. 甲步行的速度為8米/分
B. 乙走完全程用了34分鐘
C. 乙用16分鐘追上甲
D. 乙到達終點時,甲離終點還有360米
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【題目】如圖,頂點為的拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點,過點作軸交拋物線于另一點,作軸,垂足為點.雙曲線經(jīng)過點,連接,.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點,分別是軸,軸上的兩點,當以,,,為頂點的四邊形周長最小時,求出點,的坐標;
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【題目】一名在校大學生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè),銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價10元/件,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(件與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)求每天的銷售利潤W(元與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件銷售價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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