Question

【題目】如圖1，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的解析式.

（2）為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)、.

①點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②點(diǎn)在軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)、、中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱、、三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫出使得、、三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的的值.

Answer 1

【答案】（1）；拋物線的解析式為；

（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②或或.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）②先根據(jù)題意確定N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)（1）所得直線AB的解析式，確定OA，OB的長(zhǎng)度，若使和相似，則必須或，然后分類討論即可；

②根據(jù)題意直接寫成m的取值即可.

解：（1）∵直線與軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴.

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，

∴，∴拋物線的解析式為.

（2）∵軸，，，∴.

①由（1）知直線的解析式為，，.

在和中，∵，，∴若使和相似，則必須或，分兩種情況討論如下：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，.

∵，∴，∴，∴.

∴，即，解得（舍去）或，

∴.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴，解得（舍去）或，∴.

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

②或或.