【題目】 先閱讀下面的材料,再解答下面的問(wèn)題:如果兩個(gè)三角形的形狀相同,則稱這兩個(gè)三角形相似.如圖1,△ABC與△DEF形狀相同,則稱△ABC與△DEF相似,記作△ABC∽△DEF.那么,如何說(shuō)明兩個(gè)三角形相似呢?我們可以用“兩角分別相等的三角形相似”加以說(shuō)明.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:
如圖1:在△ABC與△DEF中,∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴△ABC∽△DEF.
請(qǐng)你利用上述定理解決下面的問(wèn)題:
(1)下列說(shuō)法:①有一個(gè)角為50°的兩個(gè)等腰三角形相似;②有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形相似;③有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似;④兩個(gè)等邊三角形相似.其中正確的是______(填序號(hào));
(2)如圖2,已知AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)O,試說(shuō)明△ABO∽△DCO;
(3)如圖3,在平行四邊形ABCD中,E是DC上一點(diǎn),連接AE.F為AE上一點(diǎn),且∠BFE=∠C,求證:△ABF∽△EAD.
【答案】(1)②③④;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)由于50°的角可作為等腰三角形的頂角,也可以作為底角,由此可判斷①;而100°的角只能作為等腰三角形的頂角,故可判斷②;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可判斷③;根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可判斷④,進(jìn)而可得答案;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和材料提供的方法解答即可;
(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°,然后根據(jù)已知和補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠D=∠AFB,進(jìn)而可得結(jié)論.
解:(1)①由于50°的角可作為等腰三角形的頂角,也可以作為底角,所以有一個(gè)角為50°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似,所以①錯(cuò)誤;
②由于100°的角只能作為等腰三角形的頂角,所以有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形一定相似,所以②正確;
③有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形一定相似,所以③正確;
④兩個(gè)等邊三角形一定相似,所以④正確.
故答案為②③④;
(2)∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△ABO∽△DCO;
(3)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°,
∵∠AFB+∠BFE=180°,∠BFE=∠C,
∴∠D=∠AFB,
∴△ABF∽△EAD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).
(1)、如果P、Q同時(shí)出發(fā),幾秒鐘后,可使△PCQ的面積為8平方厘米?
(2)、點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻,使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在,求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O的直線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,連接DE,BF.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:直線與直線互為“友好直線”,如:直線與互為“友好直線”.
(1)點(diǎn)在直線的“友好直線”上,則________.
(2)直線上的點(diǎn)又是它的“友好直線”上的點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)對(duì)于直線上的任意一點(diǎn),都有點(diǎn)在它的“友好直線”上,求直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)把下面的證明補(bǔ)充完整
已知:如圖,直線AB、CD被直線EF所截,AB∥CD,EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,EG、FG交于點(diǎn)G.求證:EG⊥FG.
證明:∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF+∠DFE=180°(______),
∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE(已知),
∴______,______(______),
∴∠GEF+∠GFE=(∠BEF+∠DFE)(______),
∴∠GEF+∠GFE=×180°=90°(______),
在△EGF中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°(______),
∴∠G=180°-90°=90°(等式性質(zhì)),
∴EG⊥FG(______).
(2)請(qǐng)用文字語(yǔ)言寫出(1)所證命題:______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BD,CE分別是△ABC的兩邊上的高,過(guò)D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F,H,求證:
(1)DG2=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在的方格紙中,每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為,點(diǎn)在格點(diǎn)上,用無(wú)刻度直尺按下列要求作圖,保留必要的作圖痕跡.
在圖1中,以為邊畫一個(gè)正方形;
在圖2中,以為邊畫一個(gè)面積為的矩形(可以不在格點(diǎn)上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果生產(chǎn)基地,某天安排30名工人采摘枇杷或草莓(每名工人只能做其中一項(xiàng)工作),并且每人每天摘0.4噸枇杷或0.3噸草莓,當(dāng)天的枇杷售價(jià)每噸2000元,草莓售價(jià)每噸3000元,設(shè)安排其中x名工人采摘枇杷,兩種水果當(dāng)天全部售出,銷售總額達(dá)y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若要求當(dāng)天采摘枇杷的數(shù)量不少于草莓的數(shù)量,求銷售總額的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球(記為紅球1、紅球2)、1個(gè)白球、1個(gè)黑球,這些球除顏色外都相同,將球搖勻.
(1)從中任意摸出1個(gè)球,恰好摸到紅球的概率是 ;
(2)先從中任意摸出1個(gè)球,再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球,請(qǐng)用列舉法(畫樹狀圖或列表)求兩次都摸到紅球的概率.
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