Question

小磊要制作一個(gè)三角形的鋼架模型，在這個(gè)三角形中，長(zhǎng)度為x（單位：cm）的邊與這條邊上的高之和為40cm，這個(gè)三角形的面積S（單位：隨x（單位：cm）的變化而變化，且10≤x≤25．
（1）請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x是多少時(shí)，這個(gè)三角形面積S最大？最大面積是多少？
（3）若這個(gè)三角形面積S不小于182cm²，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）S=

1

2

x×這邊上的高，把相關(guān)數(shù)值代入化簡(jiǎn)即可；
（2）結(jié)合（1）得到的關(guān)系式，利用公式法求得二次函數(shù)的最值即可；
（3）利用三角形面積S為182cm²，得出x的值，進(jìn)而得出S不小于182cm²時(shí)x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：S=

1

2

x（40-x）=-

1

2

x²+20x；

（2）∵-

1

2

＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=-

20

2×(- 1 2 )

=20時(shí)，
S有最大值為

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 2 )×0-202

4×(- 1 2 )

=200（cm²）．
∴當(dāng)x為20cm時(shí)，三角形最大面積是200cm²．

（3）當(dāng)S=182時(shí)，182=-

1

2

x²+20x
整理得：x²-40x+364=0，
（x-14）（x-26）=0，
解得：x₁=14，x₂=26，
∵a=-

1

2

＜0，
∴這個(gè)三角形面積S不小于182cm²，則x的取值范圍是：14≤x≤25．
故答案為：14≤x≤25．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的解法，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）是解決本題的關(guān)鍵．