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（2012•延慶縣二模）已知：在⊙O中，AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D，
（1）求證：∠AOD=2∠C；
（2）若AD=8，tanC=
43
，求⊙O的半徑．
分析：（1）連接BD，利用切線的性質定理和圓周角定理以及圓的半徑相等即可證明∠AOD=2∠C；
（2）由（1）可知：tanC=tan∠ABD，在Rt△ABD中利用角ABD的正切值可求出BD，再利用勾股定理即可求出AB進而求出圓的半徑．
解答：（1）證明：連接BD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD，
∴∠AOD=2∠C；   

（2）解：由（1）可知：tanC=tan∠ABD=
4
3
，
在Rt△ABD中有：tan∠ABD=
AD
BD

即
8
BD
=
4
3
，
∴BD=6，
∴AB=
AD2+BD2
=10，
∴半徑為5．
點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理以及銳角三角函數和勾股定理的運用，解題的關鍵是連接BD構造直徑所對的圓周角為直角，從而得到直角三角形．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•延慶縣二模）如圖，⊙O的半徑為2，點A為⊙O上一點，OD⊥弦BC于點D，OD=1，則∠BAC的度數是（　　）

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•延慶縣二模）如圖，等邊△ABC中，邊長AB=3，點D在線段BC上，點E在射線AC上，點D沿BC方向從B點以每秒1個單位的速度向終點C運動，點E沿AC方向從A點以每秒2個單位的速度運動，當D點停止時E點也停止運動，設運動時間為t秒，若D、E、C三點圍成的圖形的面積用y來表示，則y與t的圖象是（　�。�

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•延慶縣二模）已知：如圖，直線y=
1
3
x與雙曲線y=
k
x
交于A、B兩點，且點A的坐標為（6，m）．
（1）求雙曲線y=
k
x
的解析式；
（2）點C（n，4）在雙曲線y=
k
x
上，求△AOC的面積；
（3）在（2）的條件下，在x軸上找出一點P，使△AOC的面積等于△AOP的面積的三倍．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•延慶縣二模）閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．
小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．
請你回答：AP的最大值是
6
6
．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，則AP+BP+CP的最小值是
2
2
+2
6
（或不化簡為
32+16
3
）
2
2
+2
6
（或不化簡為
32+16
3
）
．（結果可以不化簡）

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•延慶縣二模）已知：關于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有實根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且m取最小的整數，求此時方程的兩個根；
（3）在（2）的前提下，二次函數y=mx2-（2m+2）x+m-1與x軸有兩個交點，連接這兩點間的線段，并以這條線段為直徑在x軸的上方作半圓P，設直線l的解析式為y=x+b，若直線l與半圓P只有兩個交點時，求出b的取值范圍．

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