Question

（2012•延慶縣二模）閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．
小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．
請你回答：AP的最大值是

6

．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，則AP+BP+CP的最小值是

2

2

+2

6

（或不化簡為

32+16 3

）

．（結果可以不化簡）

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三邊關系來求A′C即AP的長度；
（2）以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A'P'B．根據旋轉的性質推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．當A'、P'、P、C四點共線時，（P'A′+P'B+PC）最短，即線段A'C最短．然后通過作輔助線構造直角三角形A′DC，在該直角三角形內利用勾股定理來求線段A′C的長度．

解答：解：（1）如圖2，∵△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等邊三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
則當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；
故答案是：6．

（2）如圖3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A'P'B．則A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵當A'、P'、P、C四點共線時，（P'A+P'B+PC）最短，即線段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C長度即為所求．
過A'作A'D⊥CB延長線于D．
∵∠A'BA=60°（由旋轉可知），
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=2

3

，
∴CD=4+2

3

．
在Rt△A'DC中A'C=

A′D2+DC2

=

22+(4+2 3 )2

=

32+16 3

=2

2

+2

6

；
∴AP+BP+CP的最小值是：2

2

+2

6

（或不化簡為

32+16 3

）．
故答案是：2

2

+2

6

（或不化簡為

32+16 3

）．

點評：本題綜合考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理以及等邊三角形的判定與性質．注意：旋轉前、后的圖形全等．