Question

在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然，這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．
（1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b+，試求出t的取值范圍．

Answer 1

（1）y=；（2）當(dāng)k≠時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)k=，s=1時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)k=，s≠1時(shí)，不存在“夢(mèng)之點(diǎn)”；（3）t＞．

解析試題分析：（1）先由“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義得出m=2，再將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），則有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三種情況進(jìn)行討論即可；
（3）先將A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=，x₁•x₂=，則（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂==4，整理得出b²﹣2b=（2a+1）²﹣2，則t=b²﹣2b+=（2a+1）²+．再由﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，得出﹣4＜x₂＜4，﹣8＜x₁•x₂＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式組得出a＞，進(jìn)而求出t的取值范圍．
試題解析：（1）∵點(diǎn)P（2，m）是“夢(mèng)之點(diǎn)”，
∴m=2，
∵點(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；
（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），
則有x=3kx+s﹣1，
整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，
當(dāng)3k﹣1≠0，即k≠時(shí)，解得x=；
當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1時(shí)，x有無(wú)窮多解；
當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1時(shí)，x無(wú)解；
綜上所述，當(dāng)k≠時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)k=，s=1時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)k=，s≠1時(shí)，不存在“夢(mèng)之點(diǎn)”；
（3）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=（）²﹣4×==4，
∴b²﹣2b=4a²+4a﹣1=（2a+1）²﹣2，
∴t=b²﹣2b+=（2a+1）²﹣2+=（2a+1）²+．
∵﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，
∴﹣4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴﹣4＜x₂＜4，
∴﹣8＜x₁•x₂＜8，
∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，
∴a＞
∴（2a+1）²+＞+=，
∴t＞．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．