【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 y=x2x與x軸交于A、B、兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)判斷ABC形狀,并說明理由.

(2)在拋物線第四象限上有一點(diǎn),它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)P,點(diǎn)M是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PBC的面積最大時(shí),求PM+MC的最小值;

(3)如圖2,點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸上且縱坐標(biāo)為,對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHCK,交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,延長HE至點(diǎn)F,使得EF=,在平面內(nèi)找一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸,請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)Q,若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)結(jié)論:ABC是直角三角形2(3)存在.滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

【解析】試題分析:(1)由△AOC∽△COB,推出∠ACO=∠OBC,由∠OBC+∠OCB=90°,推出∠ACO+∠BCO=90°,推出∠ACB=90°,得出結(jié)論;

(2)如圖1中,設(shè)第四象限拋物線上一點(diǎn)N(m, x2x﹣),點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(m,-x2+x+),作過B、C分別作y軸、x軸的平行線交于點(diǎn)G,連接PG,可得S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG,由此可得△PBC面積最大時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo),如圖2,作ME⊥CG于點(diǎn)M,由△CEM∽△BOC,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例,得出PM+CM=PM+ME,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)PE⊥CG時(shí),PM+ME最短,由此即可解決;

(3)分三種情況討論,①如圖3,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以嗲F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線是對(duì)稱軸,②如圖4,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線是對(duì)稱軸,③如圖5,當(dāng)DH=DF,DQ平分∠HDF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線是對(duì)稱軸,分別求解即可.

試題解析:(1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.理由如下,

對(duì)于拋物線 y=x2x﹣,令y=0得 x2x﹣=0,解得x=﹣或3;令x=0得y=﹣,

∴A(﹣,0),C(0,﹣),B(3,0),

∴OA=,OC=,OB=3

==,∵∠AOC=∠BOC,

∴△AOC∽△COB,

∴∠ACO=∠OBC,

∵∠OBC+∠OCB=90°,

∴∠ACO+∠BCO=90°,

∴∠ACB=90°.

(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).

(2)如圖1中,設(shè)第四象限拋物線上一點(diǎn)N(m, m2m﹣),點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(m,﹣m2+m+),作過B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點(diǎn)G,連接PG.

∵G(3,﹣),

∴S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××(﹣m2+m+2)+×(3﹣m)﹣××=﹣(m﹣2+

∵﹣<0,

∴當(dāng)m=時(shí),△PBC的面積最大,

此時(shí)P(,),

如圖2中,作ME⊥CG于M.

∵CG∥OB,

∴∠OBC=∠ECM,∵∠BOC=∠CEM,

∴△CEM∽△BOC,

∵OC:OB:BC=1:3:,

∴EM:CE:CM=1:3:

∴EM=CM,

∴PM+CM=PM+ME,

∴根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)PE⊥CG時(shí),PM+ME最短,

∴PM+MC的最小值為+=

(3)存在.理由如下,

①如圖3中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.

作CG⊥HK于G,PH∥x軸,EP⊥PH于P.

∵FH∥CK,K(,﹣),

易知CG:GK:CK=3:4:5,

由△EPH∽△KGC,得PH:PE:EH=3:4:5,設(shè)E((n, n2n﹣),則HE=(n﹣),PE=(n﹣),

∵DH=HF,

+[﹣n2+n+(n﹣)]=(n﹣)+,

解得n=(舍棄).

②如圖4中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.

同法可得[n2n﹣+(n﹣)]﹣=(n﹣)+,

解得n=+(舍棄).

③如圖5中,當(dāng)DH=DF,DQ平分∠HDF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.

設(shè)DQ交HF于M.由△DHM∽△CKG,可知HM:DH=4:5,

[(n﹣)+]:[n2n﹣+(n﹣)﹣]=4:5,

解得n=+或=(舍棄),

④如圖6中,當(dāng)FQ平分∠DFH時(shí),滿足條件,此時(shí)=

∴5× [n2n﹣+(n﹣)]=4[(n﹣)+],

解得:n=(舍棄)

綜上所,滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為++

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若該客戶按方案②購買,需付款    元(用含x的代數(shù)式表示);

2)若=40,通過計(jì)算說明按方案①、方案②哪種方案購買較為合算?

3)若兩種優(yōu)惠方案可同時(shí)使用,當(dāng)=40時(shí),你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?試寫出你的購買方案,并說明理由.

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