【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+2x+c的圖象與x軸交于點A和點B1,0),以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿CB勻速運動,當點Q到達終點B時,點P停止運動,設運動時間為t秒.連接DP,過點PDP的垂線與y軸交于點E

1)求二次函數(shù)的解析式及點A的坐標;

2)當點P在線段AO(點P不與A、O重合)上運動至何處時,線段OE的長有最大值,并求出這個最大值;

3)在P,Q運動過程中,求當DPE與以DC,Q為頂點的三角形相似時t的值;

4)是否存在t,使DCQ沿DQ翻折得到DC′Q,點C′恰好落在拋物線的對稱軸上?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2+2x﹣3,點A的坐標為(﹣3,0);

2)點P位于AO的中點時,線段OE的長有最大值;

3t=13

4)存在t=

【解析】試題分析:(1)先將點B的坐標代入解析式求得c的值確定二次函數(shù)解析式,y=0即可求得A點坐標.

(2)DPPE證得DAP∽△POE,用比例式表示出yt的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可求得OE的最大值.

(3)需要分類討論:根據(jù)t的不同取值得出相似三角形,再由相似的性質(zhì)可得t的取值.

(4)先證明DCQDCQ,從而得到CDQ=∠CDQ,DC′=DC=4,再得出CDQ=30°,即可求得滿足條件的t.

解:(1)把B1,0)代入y=x2+2x+cc=﹣3

y=x2+2x﹣3,

x2+2x﹣3=0x1=﹣3x2=1,

∴點A的坐標為(﹣3,0).

2)如圖(2),由正方形ABCDAD=AB=4,

DPPE證得DAP∽△POE,

,設OE=y,則,

y==﹣t﹣2+,

a=﹣10,

∴當t=時(屬于0t)時,y最大=,此時2t=,即點P位于AO的中點時,

∴線段OE的長有最大值

3①如圖①,當0t時,DPE∽△DCQ

.又ADP∽△OPE,

.即,解得t=1,

經(jīng)檢驗:t=1是原方程的解.

②如圖②,當時,同理證得ADP∽△OPE

,

,解得t=3.經(jīng)檢驗:t=3是原方程的解.

③如圖③,當時,DPE∽△QCD,

,

同理得,

.即,解得t1=t2=(經(jīng)檢驗:舍去t2=),

綜上所述,t=13,

4)存在t=

理由如下:如圖

DCQ沿DQ翻折得DC′Q,則DCQ≌△DC′Q,

∴∠CDQ=C′DQDC′=DC=4,

設拋物線的對稱軸交DCG,則DG=2.在RtDC′G中,

C′D=2DG

∴∠C′DG=60°,

∴∠CDQ=×60°=30°,

CQ=,即t=

練習冊系列答案
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(2)當t=3時,求過點P的直線l:y=-x+b的解析式?

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