【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,O是對角線BD的中點,過點O的直線EF分別交DA,BC的延長線于E,F.
(1)求證:AE=CF;
(2)若AE=BC,試探究線段OC與線段DF之間的關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)OC∥DF,且OC=DF,理由見解析.
【解析】
(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC,AD=BC,得出∠ADB=∠CBD,證明△BOF≌△DOE,得出DE=BF,即可得出結(jié)論;
(2)證出CF=BC,得出OC是△BDF的中位線,由三角形中位線定理即可得出結(jié)論.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵O是對角線BD的中點,
∴OB=OD,
在△BOF和△DOE中,,
∴△BOF≌△DOE(ASA),
∴DE=BF,
∴DE-AD=BF﹣BC,
∴AE=CF;
(2)解:OC∥DF,且OC=DF,理由如下:
∵AE=BC,AE=CF,
∴CF=BC,
∵OB=OD,
∴OC是△BDF的中位線,
∴OC∥DF,且OC=DF.
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【題目】將大小相同的正三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個圖案中有6個小三角形和1個正六邊形;第②個圖案中有10個小三角形和2個正六邊形;第③個圖案中有14個小三角形和3個正六邊形;…;按此規(guī)律排列下去,已知一個小三角形的面積為a,一個正六邊形的面積為b,則第⑧個圖案中所有的小三角形和正六邊形的面積之和為____________.(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,點E是BC上的一個動點,連接DE,交AC于點F.
(1)如圖①,當(dāng)時,求的值;
(2)如圖②,當(dāng)點E是BC的中點時,過點F作FG⊥BC于點G,求證:CG=BG.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2-x-3與x軸的交點為A、D(A在D的右側(cè)),與y軸的交點為C.
(1)直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo);
(2)若點M在拋物線上,使得△MAD的面積與△CAD的面積相等,求點M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B,在拋物線上是否存在點P,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個點,CD=BC,AC與BD交于點E。
(1)求證:DC2=CE·AC;
(2)若AE=2EC,求之值;
(3)在(2)的條件下,過點C作⊙O的切線,交AB的延長線于點H,若S△ACH=,求EC之長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設(shè)運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y甲,線段BP的長度記作y乙,y甲和y乙關(guān)于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒 cm;當(dāng)t= 秒時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是 (并寫出此點的坐標(biāo));
(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi),將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M.問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:點A,B,C都在⊙O上,連接AB,AC,點D,E分別在AC,AB上,連接CE并延長交⊙O于點F,連接BD,BF,∠BDC﹣∠BFC=2∠ABF.
(1)如圖1,求證:∠ABD=2∠ACF;
(2)如圖2,CE交BD于點G,過點G作GM⊥AC于點M,若AM=MD,求證:AE=GD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)AE:BE=8:7時,連接DE,且∠ADE=30°.延長BD交⊙O于點H,連接AH,AH=8,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在矩形中,是邊的中點,,垂足為點,連接.則列四個結(jié)論:
①;②;③;④.其中正確的結(jié)論有:
A.4個B.3個C.2個D.1個
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