【題目】已知:點(diǎn)A,BC都在⊙O上,連接ABAC,點(diǎn)D,E分別在AC,AB上,連接CE并延長交⊙O于點(diǎn)F,連接BD,BF,∠BDC﹣∠BFC2ABF

1)如圖1,求證:∠ABD2ACF;

2)如圖2,CEBD于點(diǎn)G,過點(diǎn)GGMAC于點(diǎn)M,若AMMD,求證:AEGD

3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)AEBE87時(shí),連接DE,且∠ADE30°.延長BD交⊙O于點(diǎn)H,連接AH,AH8,求⊙O的半徑.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(313

【解析】

1)注意到同弧所對的圓周角相等以及∠BDCABD的外角,結(jié)合題中所告訴的角度等式進(jìn)行代換變形即可得結(jié)論;

2)連接AG,設(shè)∠CGD=∠BGEβ,∠ACFα,然后推出∠AEG=∠AGE,再根據(jù)等角對等邊即可證出結(jié)論;

3)首先注意到特殊角∠ADE30°,于是作APDEP,由HL定理可得AEP≌△AGM,進(jìn)而推出AEG是等邊三角形,設(shè)AE8k,BE7k,作GNAEN,解BGN可得sinABG的值,而∠ABG是圓周角且所對的弦為AH,于是連接AO并延長交圓OQ,連接HQsinAQHsinABG,而AH已知,從而求出直徑AQ,半徑也就自然知道了.

解:(1)∵∠BDC=∠ABD+BAC,

BDC﹣∠BFC2ABF,

∴∠ABD+BAC﹣∠BFC2ABF,

∵∠ABF=∠ACF,∠BFC=∠BAC,

∴∠ABD+BFC﹣∠BFC2ACF,

∴∠ABD2ACF

2)如圖2,連接AG

設(shè)∠CGD=∠BGEβ,∠ACFα,

則∠ABD,∠AEG=∠ABD+BGE2α+β,

GDA=∠CGD+ACFα+β

GMADMAMDM,

AGDG,

∴∠GAD=∠GDAα+β,

∴∠AGE=∠GAD+ACFα+β+α2α+β,

∴∠AGE=∠AEG

AEAGGD

3)如圖3,連接AG,作APDEP

∵∠ADE30°,

∴∠PAD60°,APAD,

GMAD,

∴∠AMG=∠APE90°,

AMMD,

AMADAP,

由(2)可知AEAG

RtAEPRtAGM中:

RtAEPRtAGMHL),

∴∠EAP=∠GAM

∵∠GAM+PAG=∠PAD60°,

∴∠EAP+PAG=∠EAG60°

∴△AEG是等邊三角形,

EGAEAGDG

AEBE87,

∴設(shè)AE8kBE7k,

GNAENANEN4k,NG4k,

BNBE+EN11k,

BG13k,

sinABG,

連接AO并延長交圓OQ,連接HQ

AQ為直徑,∠AHQ90°,

sinAQH

∵∠AQH=∠ABG,AH8

,

AQ26,

AOAQ13,

即⊙O的半徑為13

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BCD,AC⊥AB,EBC的中點(diǎn),AD⊥AE

1)求證:AC2=CD·BC;

2)過EEG⊥AB,并延長EG至點(diǎn)K,使EK=EB

若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn),點(diǎn)FAC的中點(diǎn),求證:FH⊥GH;

∠B=30°,求證:四邊形AKEC是菱形.

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1)求證:AECF;

2)若AEBC,試探究線段OC與線段DF之間的關(guān)系,并說明理由.

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【題目】某種型號的溫控水箱的工作過程是:接通電源后,在初始溫度20℃下加熱水箱中的水;當(dāng)水溫達(dá)到設(shè)定溫度80℃時(shí),加熱停止;此后水箱中的水溫開始逐漸下降,當(dāng)下降到20℃時(shí),再次自動(dòng)加熱水箱中的水至80℃時(shí),加熱停止;當(dāng)水箱中的水溫下降到20℃時(shí),再次自動(dòng)加熱,,按照以上方式不斷循環(huán).

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對該型號溫控水箱中的水溫隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.發(fā)現(xiàn)水溫y是時(shí)間x的函數(shù),其中y(單位:)表示水箱中水的溫度.x(單位:min)表示接通電源后的時(shí)間.

下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:

1)下表記錄了32min內(nèi)14個(gè)時(shí)間點(diǎn)的溫控水箱中水的溫度y隨時(shí)間x的變化情況

接通電源后的時(shí)間x(單位:min

0

1

2

3

4

5

8

10

16

18

20

21

24

32

水箱中水的溫度y(單位:

20

35

50

65

80

64

40

32

20

m

80

64

40

20

m的值為

2)①當(dāng)0≤x≤4時(shí),寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式 ;

當(dāng)4x≤16時(shí),寫出一個(gè)符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式 ;

②如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了上表中部分?jǐn)?shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn),根據(jù)描出的點(diǎn),畫出當(dāng)0≤x≤32時(shí),溫度y隨時(shí)間x變化的函數(shù)圖象:

3)如果水溫y隨時(shí)間x的變化規(guī)律不變,預(yù)測水溫第8次達(dá)到40℃時(shí),距離接通電源 min

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【題目】如圖,的邊的垂直平分線,垂足為點(diǎn)的延長線交于點(diǎn),連接,交于點(diǎn),則下列結(jié)論:

①四邊形是菱形;

;

四邊形

以上四個(gè)結(jié)論中所有正確的結(jié)論是(

A.①②B.①②③C.②④D.①②④

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【題目】如圖所示,在中,以為圓心,長為半徑畫弧交于點(diǎn),再分別以點(diǎn)、為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧交于一點(diǎn),連結(jié)于點(diǎn),連結(jié).若,,則四邊形的面積為____

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(1)求證AD是⊙O的切線;

(2)若AC=6,求AD的長.

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【題目】已知甲、乙兩個(gè)長方形紙片,其邊長如圖中所示,面積分別為

1)①用含的代數(shù)式表示__________________;

②用“”、“”或“”號填空:________;

2)若一個(gè)正方形紙片的周長與乙的周長相等,其面積設(shè)為

①該正方形的邊長是_________(用含的代數(shù)式表示);

②小方同學(xué)發(fā)現(xiàn),“的差是定值”請判斷小方同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是否正確,并通過計(jì)算說明你的理由.

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