Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，5）、（0，2）、（4，2），直線l的解析式為y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求一次函數(shù)的解析式；

（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：不論k為何值，直線l總經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；

（3）直線l與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段DM上的一點(diǎn)，且△NBD為等腰三角形，試探究：當(dāng)函數(shù)y=kx+5-4k為正比例函數(shù)時(shí)，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有______個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）2.

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式可求解；

（2）由題意可得點(diǎn)D（4，5），由y=kx+5-4k=k（x-4）+5可知，當(dāng)x-4=0時(shí)，不論k為何值，直線l總經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，5），即可得結(jié)論；

（3）由題意可求k=，即可求點(diǎn)O與點(diǎn)M重合，等腰三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)N的個(gè)數(shù)．

解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2）、

∴2=5-4k

∴k=

∴一次函數(shù)解析式為：y=x+2

（2）∵A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，5）、（0，2）、（4，2），

∴點(diǎn)D（4，5）

∵y=kx+5-4k=k（x-4）+5

∴當(dāng)x=4時(shí)，y=5，

∴不論k為何值，直線l總經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，5）

即不論k為何值，直線l總經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；

（3）∵函數(shù)y=kx+5-4k為正比例函數(shù)

∴5-4k=0

∴k=

∴函數(shù)解析式為：y=x

∴點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，如圖，即BM=2

∵△NBD為等腰三角形，

∴作BD的垂直平分線交DO于點(diǎn)N，或以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作圓，交線段DO于點(diǎn)N

∴點(diǎn)N的個(gè)數(shù)為2．

故答案為：2