【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cmBC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O

1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng);

2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從AC兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿AFBCDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)PA→F→B→A停止,點(diǎn)QC→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)A、CP、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

②若點(diǎn)PQ的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、PQ四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求ab滿足的數(shù)量關(guān)系式.

【答案】1)證明見解析,AF=5cm

2)①以AC、PQ四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

ab滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12ab≠0).

【解析】

1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形,再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;根據(jù)勾股定理即可求得AF的長(zhǎng);

2)分情況討論可知,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.

1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠CAD=ACB,∠AEF=CFE,

EF垂直平分AC,垂足為O,

OA=OC

∴△AOE≌△COF,

OE=OF,

∴四邊形AFCE為平行四邊形,

又∵EFAC,

∴四邊形AFCE為菱形,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm,則BF=8xcm,

RtABF中,AB=4cm

由勾股定理得42+8x2=x2,

解得x=5,

AF=5cm

2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DECE上,也不能構(gòu)成平行四邊形.

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,

∴以A、CP、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,

PC=5tQA=124t,

5t=124t,

解得,

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

②由題意得,以A、CP、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況:

i)如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí),AP=CQ,即a=12b,得a+b=12;

ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQ=CP,即12b=a,得a+b=12;

iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí),AP=CQ,即12a=b,得a+b=12

綜上所述,ab滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12ab≠0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在四邊形中,平分于點(diǎn),點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).

1)如圖1,已知.

①若平分,則______;

②若,試說明;

2)如圖2,已知,試說明平分.

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1)求a,b的值.

2)九年級(jí)學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用,求九年級(jí)學(xué)生可捐助的貧困生中、小學(xué)生人數(shù).

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【題目】如圖,中, ;向右平移5個(gè)單位向上平移4個(gè)單位之后得到的圖象

1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 .

2)作出平移之后的圖形.

3)求△ABC的面積.

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1)點(diǎn)Q在直線AP上且與點(diǎn)P 的距離為2,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ,三角形BPQ的面積是______;

2)平移三角形ABP,若頂點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,3),

①畫出平移后的三角形;

②直接寫出四邊形的面積為 .

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【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是().過點(diǎn)于點(diǎn),連接、

1)求、的長(zhǎng);

2)求證:;

3)四邊形能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的值;如果不能,說明理由.

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①圖形中全等的三角形只有三對(duì);②△EOF是等腰直角三角形;③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍;④BEBF=OA

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  )

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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A.4B.5C.6D.7

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