Question

【題目】如圖，已知反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（m，n），其中m＞1，AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C．

（1）求出反比例函數(shù)解析式；

（2）求證：△ACB∽△NOM．

（3）延長線段AB，交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)B恰好為AD的中點(diǎn)，求此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析；（3）B（2,2）

【解析】

(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）中，即可求得;

(2)由于∠ACB =∠NOM = 90°，所以要證ΔACB∽ΔNOM，只要即可，由已知分別求出和，證明它們相等即可;

(3)由AM⊥x軸求得AM＝4，由BN//OD可得，點(diǎn)C是AM的中點(diǎn)，則CM＝2，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，從而求得點(diǎn)B橫坐標(biāo).

(1)∵反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），

∴k=xy=4,

∴反比例函數(shù)解析式:y=(x>0);

(2) ∵ B（m，n），A（1，4），∴AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1.
∴=.
∵點(diǎn)B（m，n）在y=上，

∴m= .

∴=m-1.
又∵.

∴.
又∵∠ACB =∠NOM = 90°，

∴ ΔACB∽ΔNOM.

(3) ∵AM⊥x軸,且A（1，4），

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)1，AM＝4，

∵BN//x軸，點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C是AM的中點(diǎn)，

∴CM＝2，即點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，

又∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=上，

∴點(diǎn)B縱坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）.