Question

【題目】如圖，已知□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接并延長(zhǎng)QP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜1），解答下列問題：

（1）是否存在時(shí)刻t，使點(diǎn)P在∠BCD的平分線上；

（2）設(shè)四邊形ANPM的面積為S（cm），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM與□ABCD面積相等，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，說明理由；

（4）求t為何值時(shí)，△ABN為等腰三角形．

備用圖

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （0＜t＜1）;(3)見解析;(4)-1

【解析】（1）當(dāng)PC平分∠BCD時(shí)，則∠DCP=∠PCB， 由平行線的性質(zhì)得到∠DPC=∠PCB，進(jìn)而得到∠DPC=∠DCP， 由等角對(duì)等邊得到DC=PD，代入求出即可；

（2）求出AP和MN的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，四邊形ANPM的面積等于平行四邊形ABCD的面積．根據(jù)（2）中求出的關(guān)系式，列方程求出t的值；

（4）分三種情況討論：①AB=BN，②AB=AN，③BN=AN．

（1）當(dāng)PC平分∠BCD時(shí)，則∠DCP=∠PCB， ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DC=PD．

∵DC=1，PD=3-3t， ∴3-3t=1，3t=2，t=．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠MAP=∠QDP．

又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP．

∴∴，解得：AM=t．

∵AB=CD=1，∴MB=1+t．

∵MN⊥BC，∠B=45°，∴sin45°=，∴MN=．

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，

∴SANPM=S△MAP+S△NAP=APOM+APON=AP（OM+ON）=APMN

==

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為（0＜t＜1）；

（3）不存在．理由如下：

過A作AG⊥BC于G．

∵∠B=45°，AB=1，∴AG=．

∵SANPM=SABCD，∴=，∴，解得：t=－2，t=1．

∵0＜t＜1，∴不存在在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM與□ABCD面積相等．

(4)由（2）可知：AM=t，∴BM=1+t．

∵∠B=45°，∴MN=BN=．AD∥BC，∴∠MAD=∠B=45°，∠AOM=∠BNM=90°．

∵AM=t， ∴AO=MO=．

∵NO=AG=，∴AN=．分三種情況討論：

①當(dāng)AB=BN時(shí)，=1，解得：；

②當(dāng)AB=AN時(shí)，=1，解得：t=1（舍去）；

③當(dāng)BN=AN時(shí)，=時(shí)，解得：t=0 (舍)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，△ABN為等腰三角形．