Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

求：(1)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？

(2)t為何值時(shí)，直線PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=5或8時(shí)， P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；（2）t=8或時(shí)，直線PQ與⊙O相切

【解析】

（1）作PE⊥BC于E，由勾股定理，得(264t)+64=100，解得t=5或8問(wèn)題得解；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，如圖因?yàn)椋?/span>AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，過(guò)p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的關(guān)于t的一元二次方程，則t可求．問(wèn)題得解．

(1)如圖1，作PE⊥BC于E，

AP=t，BQ=263t，QE=264t．

由勾股定理，得(264t)+64=100，

解得t=5或8；

∴當(dāng)t=5或8時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm．

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，過(guò)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，

則PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26-3t-t=26-4t，

由切線長(zhǎng)定理得，AP=PG，QG=BQ，

則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2，

化簡(jiǎn)整理得 3t2-26t+16=0，

解得t=8或，

所以當(dāng)t=8或時(shí)，直線PQ與⊙O相切．