Question

（2013•徐匯區(qū)一模）梯形ABCD中，AB∥CD，CD=10，AB=50，cosA=

4

5

，∠A+∠B=90°，點M是邊AB的中點，點N是邊AD上的動點．
（1）如圖1，求梯形ABCD的周長；        
（2）如圖2，聯(lián)結MN，設AN=x，MN•cos∠NMA=y（0°＜∠NMA＜90°），求y關于x的關系式及定義域；
（3）如果直線MN與直線BC交于點P，當P=∠A時，求AN的長．

Answer 1

分析：（1）過點C作CF∥AD，交AB于點F，得出平行四邊形和直角三角形，求出AD，BC即可；
（2）過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，求出y=MQ，求出AQ和AM，相減即可得出答案；
（3）分別延長AD、BC交于點E，連接EM，分為兩種情況，1°當點P在CB的延長線上時，2°當點P在BC的延長線上時，畫出圖形，結合圖形求出線段的長，即可得出答案．

解答：解：（1）過點C作CF∥AD，交AB于點F，如圖1，
∴∠CFB=∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠CFB+∠B=90°，
∴∠FCB=90°，
∵AB∥CD，
∴四邊形CDAF是平行四邊形，
∴CF=AD，AF=CD=10，
∴BF=AB-AF=40
在Rt△BCF中，∠FCB=90°，∴cos∠CFB=

CF

BF

，
∴CF=BF•cos∠CFB=40×

4

5

=32=AD，
∴BC=

BF2-CF2

=

402-322

=24，
∴C_ABCD=10+32+50+24=116．

（2）過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，
∴∠NQA=∠NQM=90°，
∴cosA=

AQ

AN

，
∴AQ=AN•cosA=

4

5

x，
∴cos∠NMA=

MQ

MN

，
∴MQ=MN•cos∠NMA=y，
∵點M是邊AB的中點，
∴AM=

1

2

AB=25，
∴y=25-

4

5

x；
定義域是0＜x＜

125

4

．

（3）分別延長AD、BC交于點E，連接EM．
∵∠A+∠B=90°，∴∠AEB=90°，AM=EM=BM=25，
∴AE=AB•cosA=50×

4

5

=40．
直線MN與直線BC交于點P，
當∠P=∠A時，分兩種情況：1°當點P在CB的延長線上時，如圖4，
∵BM=EM，
∴∠BEM=∠EBM，
∵∠A+∠ABE=90°，
∴∠P+∠MEB=90°，
∴∠EMP=∠EMN=90°，
∵AM=EM，
∴∠AEM=∠A，
∴cos∠AEM=

EM

EN

，
∴EN=

EM

cosA

=

25

4 5

=

125

4

，
∴AN=AE-EN=40-

125

4

=

35

4

；
2°當點P在BC的延長線上時，如圖5，
∵∠P+∠PNE=90°，∠ANM=∠PNE，
∴∠A+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°，
∴cosA=

AM

AN

，
∴AN=

AM

cosA

=

25

4 5

=

125

4

，
綜合1°、2°，當∠P=∠A時，AN=

35

4

或

125

4

．

點評：本題考查了梯形性質，平行四邊形的性質和判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜邊上中線性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，難度偏大．