Question

（2013•徐匯區(qū)一模）“數(shù)學(xué)迷”小楠通過(guò)從“特殊到一般”的過(guò)程，對(duì)倍角三角形（一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形）進(jìn)行研究．得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a²-b²=bc．
下面給出小楠對(duì)其中一種特殊情形的一種證明方法．
已知：如圖2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．
求證：a²-b²=bc．
證明：如圖2，延長(zhǎng)CA到D，使得AD=AB．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°
∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

∴a²-b²=bc
根據(jù)上述材料提供的信息，請(qǐng)你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B．
求證：a²-b²=bc．

Answer 1

分析：首先延長(zhǎng)CA到D，使得AD=AB，得出∠D=∠ABC，進(jìn)而得出△ABC∽△BDC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．

解答：證明：延長(zhǎng)CA到D，使得AD=AB，連接BD．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

，
∴a²-b²=bc．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)得出△ABC∽△BDC是解題關(guān)鍵．