Question

【題目】對(duì)于平面上A、B兩點(diǎn)，給出如下定義：以點(diǎn)A為中心，B為其中一個(gè)頂點(diǎn)的正方形稱為點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），頂點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積為　 　．

（2）若點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的正方形的邊與坐標(biāo)軸平行或垂直，回答下列問(wèn)題：

①已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），若點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積為16，點(diǎn)B在x軸上方，求B點(diǎn)坐標(biāo)；

②已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），若在直線l：y＝﹣3x+2上存在點(diǎn)B，點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積不超過(guò)16，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①B（4，2）或B（0，2）；②﹣12≤m≤4．

【解析】

（1）由兩點(diǎn)距離公式可求AB長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)可求解；

（2）①分兩種情況，由兩點(diǎn)距離公式和正方形性質(zhì)可求解；

②由題意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性質(zhì)可求a的取值范圍，即可求解．

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），

∴AB＝，

由題意可知，AB是正方形對(duì)角線的一半，

∴正方形的邊長(zhǎng)為2，

∴正方形的面積為40，

∴頂點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積為40；

故答案為40；

（2）①如圖，

∵點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的正方形的邊與坐標(biāo)軸平行或垂直，

∴AB與x軸的所成銳角為45°，

當(dāng)點(diǎn)B在A左側(cè)，設(shè)B（2﹣a，a），

∴AB＝，

∵點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積為16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴點(diǎn)B（0，2），

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，設(shè)B'（2+a，a）

∴AB'＝a，

∵點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積為16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴點(diǎn)B（4，2），

綜上所述：B（4，2）或B（0，2）；

②如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AM，

∵∵點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的正方形的邊與坐標(biāo)軸平行或垂直，

∴AB與直線x＝2的所成銳角為45°，

∴BM＝AM，

設(shè)點(diǎn)B（a，﹣3a+2），

∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|

∴AB＝|2﹣a|，

∵點(diǎn)A、B的“領(lǐng)域”的面積不超過(guò)16，

∴≤16

∴0≤a≤4，

∵BM＝AM，

∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|

∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，

∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，

綜上所述：﹣12≤m≤4．