【題目】如圖,在矩形ABCD中,EF分別是AB、AD的中點,連接AC、EC、EF、FC,且ECEF

(1)求證:△AEF∽△BCE;

(2)若AC=2,求AB的長;

(3)在(2)的條件下,△ABC的外接圓圓心與△CEF的外接圓圓心之間的距離為   

【答案】1)見解析;(22;(3

【解析】

1)利用同角的余角判斷出∠AFE=∠BEC,即可得出結論;

2)設AEx,AFy,則BExAB2x,BCAD2y,進而利用AEFBCE,得出,即x22y2①,再用勾股定理得出(2x2+2y2=(22,即x2+y23②,聯(lián)立①②即可得出結論;

3)先判斷出ABC的外接圓的圓心是AC的中點與CEF的外接圓的圓心為CF的中點,進而得出MNAF的一半,再用勾股定理求出AD,進而得出AF,即可得出結論.

1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠EAF=∠CBE90°,

∴∠AEF+AFE90°

ECEF,

∴∠FEC90°,

∴∠AEF+BEC90°,

∴∠AFE=∠BEC

∵∠EAF=∠CBE90°,

∴△AEF∽△BCE

2)∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC

E、F分別是AB、AD的中點

AEBEAD

AEx,AFy,

BExAB2x,BCAD2y,

∵△AEFBCE,

,

x22y2①,

∵∠B90°,

AB2+BC2AC2

∴(2x2+2y2=(22,

x2+y23②,

由①②得,(舍)或(舍)或(舍)或

AE,AF1,

∵點EAB的中點,

AB2AE2,

3)解:如圖,

∵∠CEF90°,

∴△CEF是直角三角形,

∴△CEF的外接圓的圓心是斜邊CF的中點,記作點M

CMFM,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠ABC90°,

∴△ABC是直角三角形,

∴△ABC的外接圓的圓心是斜邊AC的中點,記作N

ANCN,

CMFM,

MNAF,

由(2)知,AB2

AC2,

根據(jù)勾股定理得,BC2

AD2,

∵點FAD的中點,

AFAD1

MNAF,

故答案為:

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