Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，求證：AB=AC+CD；
（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，直接寫出你的猜想；
（3）如圖③，當(dāng)AD為∠BAC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．

Answer 1

分析 （1）AB=AC+CD．首先在AB上截取AE=AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易證DE=CD，則可求得AB=AC+CD；
（2）AC+AB=CD．首先在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易證DE=EB，則可求得AC+AB=CD．
（3）AB=CD-AC，理由為：在AF上截取AG=AC，如圖3所示，同（2）即可得證．

解答 解：（1）過(guò)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，如圖①，
∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=DC，
則AB=BE+AE=CD+AC；

（2）AB=CD+AC，理由：
在AB上截取AG=AC，如圖②，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD=CG，∠AGD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AGD=2∠B，
又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BE=DG=DC，
則AB=BG+AG=CD+AC；

（3）AB=CD-AC，理由：
在AF上截取AG=AC，如圖③，
∵AD為∠FAC的平分線，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠FGD=2∠B，
又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=DG=DC，
則AB=BG-AG=CD-AC．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形并運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．