Question

（2013•富寧縣模擬）已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對(duì)稱(chēng)軸為x=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸解析式列出關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)，然后求出OD，可得點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，根據(jù)線段垂直平分線上的性質(zhì)可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據(jù)點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=

1

2

AC，再求出AP，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，根據(jù)勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，計(jì)算即可求出點(diǎn)Q的速度．

解答：解：（1）∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對(duì)稱(chēng)軸為x=4，
∴

196a+14b+c=0 c=-8 - b 2a =4

，
解得

a= 2 21 b=- 16 21 c=-8

，
∴拋物線的解析式為y=

2

21

x²-

16

21

x-8；

（2）存在直線CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，則

2

21

x²-

16

21

x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（為點(diǎn)B坐標(biāo)），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+CO2

=

62+82

=10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴點(diǎn)D在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∵直線CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位線，
∴DQ=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分，
此時(shí)，在Rt△BOC中，BC=

CO2+BO2

=

82+142

=2

65

，
∵DQ是△ABC的中位線，
∴CQ=

1

2

BC=

1

2

×2

65

=

65

，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

65

5

單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，（2）求出DQ∥AC是解題的關(guān)鍵．