Question

（2013•富寧縣模擬）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE如圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖①中的直角三角形ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，且∠ABD=30°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；
（3）若將圖①中的直角三角形DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，且∠ABD=65°，其它條件不變，如圖③，你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，連接BF，根據(jù)HL證Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）畫(huà)出圖形，此時(shí)AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE；
（3）（1）中猜想結(jié)論不成立，關(guān)系式是AF=EF+DE，連接BF，根據(jù)HL證Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

解答：（1）證明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
連接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中

BC=BE BF=BF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；

（2）解：如圖2所示，
此時(shí)AF+EF≠DE；

（3）解：（1）中猜想結(jié)論不成立，關(guān)系式是AF=EF+DE．理由是：
連接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中

BE=BC BF=BF

，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，證明過(guò)程類(lèi)似．