(2013•樊城區(qū)模擬)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,弦AD交BC于E,過點(diǎn)D的切線MN交直線AB于M,交直線AC于N.
(1)求證:AE•DE=BE•CE;
(2)連接DB,CD,若MN∥BC,試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,已知AB=6,AN=15,求AD的長.
分析:(1)連接CD,利用已知條件證明△ABE∽△CDE,由相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊的比值相等即可證明:AE•DE=BE•CE;
(2)BD和CD的數(shù)量關(guān)系是BD=CD,根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明,
BD
=
CD
即可;
(3)首先證明△ABD∽△ADN,所以可得:
AB
AD
=
AD
AN
,即AD2=AB•AN問題得解.
解答:(1)證明:∵連接CD,在⊙O中,
∵∠ABC=∠ADC,∠1=∠3,
∴△ABE∽△CDE,
AE
CE
=
BE
DE

∵AE•DE=BE•CE;           
解:(2)BD=CD,
理由:連接OD、BD,
∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)D,
∴OD⊥MN,
∵M(jìn)N∥BC,
∴OD⊥BC,
∴在⊙O中,
BD
=
CD
,
∴BD=CD;                          
(3)∵在⊙O中,
BD
=
CD
,
∴∠1=∠2,
在⊙O中,
∵∠ADB=∠4,
∵M(jìn)N∥BC,
∴∠C=∠4,
∴∠ADB=∠C,
∴△ABD∽△ADN,
AB
AD
=
AD
AN
,
∴AD2=AB•AN=6×15=90,
∴AD=3
10
點(diǎn)評:本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.乘積的形式通?梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式,通過相似三角形的性質(zhì)得出.
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3
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5
6
5
6

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7或25
7或25
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(2013•樊城區(qū)模擬)先化簡,再求值:(
x-1
x
-
x-2
x+1
÷
2x2-x
x2+2x+1
,其中x滿足x-2=0.

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