Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{4}{9}$x²+4分別與x軸、y軸交于A，B兩點．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標和拋物線對稱軸的表達式．
（2）把拋物線y=-$\frac{4}{9}$x²+4向右平移，設平移后A、B的對應點分別為C、D，當直線CD恰與以AB為直徑的⊙M相切時，平移停止，求出平移后的拋物線解析式；
（3）在（2）的條件下，點P為平移后拋物線對稱軸上任意的一點，連結PC，將PC繞點P逆時針旋轉90°，當點C恰好在落在平移后的拋物線上時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0，即可求出點A，B的坐標，由拋物線b=0，可知對稱軸為y軸；
（2）根據相切，可知AB、CD距離是$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，利用平行四邊形的面積，求出AC的長度，利用拋物線平移即可求出平移后的解析式；
（3）根據題意，可知△PNC≌△C′QP，利用全等三角形的對應線段相等，用含n的式子表示出點C′的坐標，由于點C′在拋物線上，將其坐標代入拋物線解析式，求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線解析式為：y=$-\frac{4}{9}{x}^{2}+4$，
∴對稱軸為y軸，
令y=0，得：$-\frac{4}{9}{x}^{2}+4$=0，解得：x=±3，
∵點A在x軸的正半軸上，
∴點A（3，0），
令x=0，得：y=4，
∴點B的坐標為（0，4）；

（2）由OA=3，OB=4，可得AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵CD與⊙M相切，
∴點B到CD的距離d等于$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
連接BD，如圖1，
∴S_{平行四邊形ABCD}=AB•d=AC×4，
∴AC=$\frac{25}{8}$，
∴移動后的拋物線解析式為：y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$；

（3）如圖2，設P（$\frac{25}{8}$，n），
過點C′Q⊥PD，設對稱軸與x軸交于點N．
∴△PNC≌△C′QP，
∴C′Q=PN，PQ=NC，
∵拋物線y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$與x軸的交點為（$\frac{1}{8}$，0），（$\frac{49}{8}$，0），
∴C′Q=PN=n，PQ=NC=3，
∴C′（$\frac{25}{8}$+n，n+3），
∵C′（$\frac{25}{8}$+n，n+3）在拋物線y=$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$上，
∴n+3$-\frac{4}{9}（x-\frac{25}{8}）^{2}+4$，解得：n₁=$\frac{3}{4}$，n₂=-3，
∴P₁（$\frac{25}{8}$，$\frac{3}{4}$），P₂（$\frac{25}{8}$，-3）．

點評 本題主要考查二次函數及旋轉的圖形變形，解決第（3）小題時，能夠找到線段旋轉后，有兩個三角形全等，進而確定出點C′的坐標是解決此題的關鍵，解決此類問題要靈活運用前面學過的知識．