Question

15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點(diǎn)D，且l∥BC．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，求證：BD=DE．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由直線l與⊙O相切于點(diǎn)D可得出OD⊥l，結(jié)合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根據(jù)垂徑定理即可得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，進(jìn)而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）由角平分線的定義結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可證出BD=DE．

解答 證明：（1）連接OD，如圖所示．
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥l．
∵l∥BC，
∴OD⊥BC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．
又∵∠DEB=BAE+∠ABE，
∴∠EBD=∠DEB，
∴BD=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及角平分線的定義，通過角的計(jì)算找出∠BAD=∠CAD（∠EBD=∠DEB）是解題的關(guān)鍵．