Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖3-1-13①②③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況，

由①②③研究：（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖①加以證明。

（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫(xiě)出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由）。

（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問(wèn)線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖④加以證明。

 

 

 

Answer 1

解：（1）連接PC，因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，所以CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACP=45°，即∠ACP=∠B=45°，又因?yàn)椤螪PC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，

 

所以∠DPC=∠BPE，即△PCD≌△PBE，所以PD=PE。…………………3分

（2）共有四種情況：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE=0時(shí)，PE=PB，②當(dāng)CE=2-時(shí)，此時(shí)PB=BE；③當(dāng)CE=1時(shí)，此時(shí)PE=BE；④當(dāng)E在CB的延長(zhǎng)線上，且CE=2+時(shí)，此時(shí)PB=EB。…6分

（3）MD：ME=1：3，…………………7分

證明如下：過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分別是F、H，所以MH∥AC，MF∥BC，即四邊形CFMH是平行四邊形，因?yàn)椤螩=90°，所以□CFMH是矩形，即∠FMH=90°，MF=CH，因?yàn)?img width=105 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew/czsx/2/182462.png" >，

 

而HB=MH，所以…………………9分，

 

因?yàn)椤螪MF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，所以∠DMF=∠EMH，因?yàn)椤螹FD=∠EMH=90°，所以△MDF∽△MEH，即…………………10分

 

解析:略