Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況，研究：
（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD與PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②說(shuō)明理由．
（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接PC，通過(guò)證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．
（2）分為點(diǎn)C與點(diǎn)E重合、CE=2-

2

、CE=1、E在CB的延長(zhǎng)線上四種情況進(jìn)行說(shuō)明．

解答：解：（1）由圖①可猜想PD=PE，再在圖②中構(gòu)造全等三角形來(lái)說(shuō)明．即PD=PE．
理由如下：
連接PC，因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，
①當(dāng)PE=PB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CE=0；
②當(dāng)BP=BE時(shí)，E在線段BC上，CE=2-

2

；E在CB的延長(zhǎng)線上，CE=2+

2

；
③當(dāng)EP=EB時(shí)，CE=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題是分類討論題，應(yīng)分情況進(jìn)行論證，不能漏解．