Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB=4 ，設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C′．

（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；
（2）若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．
（3）如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意拋物線的頂點C（0，4），A（2 ，0），設拋物線的解析式為y=ax2+4，

把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，

∴拋物線C的函數(shù)表達式為y=﹣ x2+4

（2）

解：由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設拋物線C′的解析式為y= （x﹣m）2﹣4，

由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，

則有 ，解得2＜m＜2 ，

∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2

（3）

解：結論：四邊形PMP′N能成為正方形．

理由：1情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．

由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵點M在y=﹣ x2+4上，

∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍棄），

∴m= ﹣3時，四邊形PMP′N是正方形．

情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣ x2+4中，2﹣m=﹣ （m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍棄），

∴m=6時，四邊形PMP′N是正方形

【解析】（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（2 ，0），設拋物線的解析式為y=ax2+4，把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，由此即可解決問題；（2）由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設拋物線C′的解析式為y= （x﹣m）2﹣4，由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有 ，解不等式組即可解決問題；（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數(shù)法即可解決問題．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�