Question

【題目】四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，連接AP并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接 PC，求證：∠AEB=∠PCD．
（2）如圖1，當(dāng)PA=PD且PC⊥BE時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．
（3）連接AP并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)E，連接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠PDA=∠PDC，AD=CD AD∥BC，

在△PAD與△PCD中，

，

∴△PAD≌△PCD（SAS），

∴∠PAD=∠PCD，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD

（2）

解：如圖1，

（方法一）∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA，

設(shè)∠PAD=∠PDA=x，則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x

∵PC⊥BE

∴2x+x=90°，

∴x=30°，

∴∠ABC=2x=60°；

（方法二）：延長(zhǎng)CP交AD于M，

∵AD∥BC，PC⊥BC，

∴CM⊥AD

∵PA=PD，

∴△PAM≌△PDM （HL），

∴AM=DM，

∴CM垂直平分AD

連接AC，則AC=CD=BC=AB，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°

（3）

解：①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

△PCE是等腰三角形，則CP=CE，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP與△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP

∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖3，

△PCE是等腰三角形，則PE=CE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，

綜上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．

【解析】（1）利用菱形的性質(zhì)，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理證得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）方法一，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=∠PDA，設(shè)∠PAD=∠PDA=x，利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x，因?yàn)镻C⊥BE，得x，得∠ABC的度數(shù)；方法二，利用平行線的性質(zhì)易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分線的性質(zhì)得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等邊三角形，得∠ABC的度數(shù)；（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性質(zhì)得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因?yàn)椤螧AP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，同理得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．