【題目】問(wèn)題背景:已知∠EDF的頂點(diǎn)D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A,B重合),DE交AC所在直線于點(diǎn)M,DF交BC所在直線于點(diǎn)N,記△ADM的面積為S1 , △BND的面積為S2

(1)初步嘗試:如圖①,當(dāng)△ABC是等邊三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2時(shí),則S1S2=
(2)類比探究:在(1)的條件下,先將點(diǎn)D沿AB平移,使AD=4,再將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置,求S1S2的值;
(3)延伸拓展:當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),設(shè)∠B=∠A=∠EDF=α.
(Ⅰ)如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)AD=a,BD=b,求S1S2的表達(dá)式(結(jié)果用a,b和α的三角函數(shù)表示).
(Ⅱ)如圖④,當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)AD=a,BD=b,直接寫(xiě)出S1S2的表達(dá)式,不必寫(xiě)出解答過(guò)程.

【答案】
(1)12
(2)

解:如圖2中,設(shè)AM=x,BN=y.

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD,∠MDN=∠A,

∴∠AMD=∠NDB,∵∠A=∠B,

∴△AMD∽△BDN,

=

= ,

∴xy=8,

∵S1= ADAMsin60°= x,S2= DBsin60°= y,

∴S1S2= x y= xy=12


(3)

解:Ⅰ如圖3中,設(shè)AM=x,BN=y,

同法可證△AMD∽△BDN,可得xy=ab,

∵S1= ADAMsinα= axsinα,S2= DBBNsinα= bysinα,

∴S1S2= (ab)2sin2α.

Ⅱ如圖4中,設(shè)AM=x,BN=y,

同法可證△AMD∽△BDN,可得xy=ab,

∵S1= ADAMsinα= axsinα,S2= DBBNsinα= bysinα,

∴S1S2= (ab)2sin2α.


【解析】解:(1)如圖1中,

∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=CB=AC=6,∠A=∠B=60°,
∵DE∥BC,∠EDF=60°,
∴∠BND=∠EDF=60°,
∴∠BDN=∠ADM=60°,
∴△ADM,△BDN都是等邊三角形,
∴S1= 22= ,S2= (4)2=4 ,
∴S1S2=12,
所以答案是12.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角);等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能正確解答此題.

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(2)拓展探究:
如圖2,若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)出判斷判斷予以證明;

(3)類比延伸:
如圖3,若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.

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