Question

【題目】如圖1，把兩塊全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合．把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，兩邊分別與線段AB，BC相交于點P，Q，易說明△APD∽△CDQ.根據(jù)以上內(nèi)容，回答下列問題：

(1)如圖2，將含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的銳角頂點D與等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底邊中點O重合，兩邊DF，DE分別與邊AB，BC相交于點P，Q.寫出圖中的相似三角形__ _ (直接填在橫線上)；

(2)其他條件不變，將三角板DEF旋轉(zhuǎn)至兩邊DF，DE分別與邊AB的延長線、邊BC相交于點P，Q.上述結(jié)論還成立嗎？請你在圖3上補全圖形，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接PQ，△APD與△DPQ是否相似？請說明理由；

(4)根據(jù)(1)(2)的解答過程，你能否將兩三角板改為更一般的三角形，使得(1)中的結(jié)論仍然成立？若能，請說明兩個三角形應(yīng)滿足的條件；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】(1)△APD∽△CDQ； (2)成立，圖見解析，理由見解析；(3)△APD∽△DPQ，理由見解析；(4)△DEF滿足∠EDF＝α，△ABC 滿足頂角為(180°－2α)的等腰三角形即可，理由見解析.

【解析】

（1）通過角的轉(zhuǎn)化得出∠APD=∠CDQ，進而可得出△APD∽△CQD；

（2）由已知可得∠BAC＝∠BCA，再根據(jù)已知可推導(dǎo)得出∠APD＝∠CDQ，繼而可得出△APD∽△CQD；

（3）△APD∽△DPQ，理由如下：由△APD∽△CDQ，可得，再根據(jù)點D為AC的中點，繼而可得出，再根據(jù)∠PAD＝∠PDQ＝30°，即可證明△APD∽△DPQ；

（4）△DEF滿足∠EDF＝α，△ABC 滿足頂角為(180°－2α)的等腰三角形即可.

(1)∵∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，

∴∠APD=∠CDQ，

∴△APD∽△CDQ，

故答案為：△APD∽△CDQ；

(2)成立，如圖，理由如下：

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠BCA＝30°，

∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°，

∵∠EDF＝30°，

∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，

∴∠APD＝∠CDQ，

∴△APD∽△CDQ；

(3)△APD∽△DPQ，理由如下：

如圖，∵△APD∽△CDQ，

∴，

∵點D為AC的中點，

∴CD＝AD，

∴，即，

又∵∠PAD＝∠PDQ＝30°，

∴△APD∽△DPQ；

(4)△DEF滿足∠EDF＝α，△ABC 滿足頂角為(180°－2α)的等腰三角形即可，

理由：∵∠ABC＝180°－2α，

∴∠A＝∠C＝α，

∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，

∴∠APD＝∠CDQ，

又∵∠A＝∠C，

∴△APD∽△CDQ.