Question

【題目】如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改變時(shí)，正方形ABCD的大小也隨之改變．
①當(dāng)k=2時(shí)，正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)等于 ．
②當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時(shí)，k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】； ≤x≤18
【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)A′作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B′⊥x軸于點(diǎn)F，則∠A′ED′=90°．

∵四邊形A′B′C′D′為正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
設(shè)OD′=a，OC′=b，則EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，
即點(diǎn)A′（a，a+b），點(diǎn)B′（a+b，b）．
∵點(diǎn)A′、B′在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴ ，解得： 或 （舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′= = ．
所以答案是： ．
2）設(shè)直線A′B′解析式為y=k1x+b1 ， 直線C′D′解析式為y=k2+b2 ，
∵點(diǎn)A′（1，2），點(diǎn)B′（2，1），點(diǎn)C′（1，0），點(diǎn)D′（0，1），
∴有 和 ，
解得： 和 ．
∴直線A′B′解析式為y=﹣x+3，直線C′D′解析式為y=﹣x+1．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，n）．
當(dāng)A點(diǎn)在直線C′D′上時(shí)，有2m=﹣m+1，解得：m= ，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ），
∴k= × = ；
當(dāng)點(diǎn)D在直線A′B′上時(shí)，有n=3，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），
∴k=3×6=18．
綜上可知：當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時(shí)，k的取值范圍為 ≤x≤18．
所以答案是： ≤x≤18．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，需要了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．