Question

【題目】已知一次函數y=﹣x+2和y=2x﹣3的圖象分別交y軸與A、B兩點，兩個一次函數的圖象相交于點P．

（1）求△PAB的面積；

（2）求證：∠APB=90°；

（3）若在一次函數y=2x﹣3的圖象上有一點N，且橫坐標為x，連結NA，請直接寫出△NAP的面積關于x的函數關系式，并寫出相應x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）當x＞2時，△NAP的面積S=（x﹣2）；

當x＜2時，△NAP的面積S=（2﹣x）．

【解析】

試題分析：（1）首先解兩個一次函數的解析式組成的方程組求得P的坐標，然后求得A和B的坐標，則AB的長即可求得，根據三角形的面積即可求得；

（2）利用勾股定理的逆定理求解；

（3）表示出PN的長，然后根據三角形的面積公式即可求解．

解：（1）根據題意得：，

解得：，

則P的坐標是（2，1）．

在y=﹣x+2中令x=0，解得y=2，則A的坐標是（0，2），

在y=2x﹣3中令x=0，解得y=﹣3，則B的坐標是（0，﹣3），

則AB=5，

則S△PAB=×5×2=5；

（2）∵PA2=22+（2﹣1）2=5，

BP2=22+（1+3）2=20，

AB2=25，

∴PA2+BP2=AB2，

∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°；

（3）N的橫坐標是x，則縱坐標是（x，2x﹣3）．

則PN==|x﹣2|，

當x＞2時，PN=（x﹣2），

則△NAP的面積S=PAPN=××（x﹣2）=（x﹣2）；

當x＜2時，PN=（2﹣x），

則△NAP的面積S=PAPN=××（2﹣x）=（2﹣x）．