【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-3交于A,B兩點,其中點B在y軸上,點A坐標為(-4,-5),點P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交AB于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)以O,B,P,D為頂點的平行四邊形是否存在?如存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)當點P運動到直線AB下方某一處時,△PAB的面積是否有最大值?如果有,請求出此時點P的坐標.
【答案】(1)y=x2+x-3(2)存在,(-2-,-1-),(-1,-),(-3,-)(3)(-2,-8)
【解析】
(1)由題意可得點B(0,-3),將點B,點A坐標代入解析式,可求拋物線解析式;
(2)設(shè)P(m,m2+m-3),則點D(m,m-3),可得PD=|m2+4m|,以O,B,P,D為頂點的平行四邊形且OB∥PD,可得PD=|m2+4m|=OB=3,可求m的值,即可得點P的坐標;
(3)設(shè)點P(x,x2+x-3),則點D(x,x-3),則PD=-x2-4x,由題意可得S△PAB=×PD×4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可求△PAB的面積的最大值.
(1)∵直線y=x-3交y軸于點B
∴B(0,-3),
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-4,-5),點B(0,-3)
∴
解得:b=,c=-3
∴拋物線解析式y=x2+x-3
(2)存在,
設(shè)P(m,m2+m-3),(m<0),
∴D(m,m-3),
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥BO,
∴當PD=OB=3,故存在以O,B,P,D為頂點的平行四邊形,
∴|m2+4m|=3,
①當m2+4m=3時,
∴m1=-2-,m2=-2+(舍),
當m=-2-時,則m2+m-3=-1-
∴P(-2-,-1-),
②當m2+4m=-3時,
∴m1=-1,m2=-3,
當m1=-1時,則m2+m-3=-,
∴P(-1,-),
當m2=-3,∴m2+m-3=-,
∴P(-3,-),
∴點P的坐標為(-2-,-1-),(-1,-),(-3,-).
(3)設(shè)點P(x,x2+x-3),則點D(x,x-3),
∴PD=x-3-(x2+x-3)=-x2-4x
∵S△APB=×PD×4=-2x2-8x=-2(x+2)2+8
∴當x=-2時,△PAB的面積的最大值為8.
∴點P坐標(-2,-8)
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【題目】如圖1所示的是一種置于桌面上的簡易臺燈,將其結(jié)構(gòu)簡化成圖2,燈桿AB與CD交于點O(點O固定),燈罩連桿CE始終保持與AB平行,燈罩下方FG處于水平位置,測得OC=20cm,∠COB=70°,∠F=40°,EF=EG,點G到OB的距離為12cm.
(1)求∠CEG的度數(shù).
(2)求燈罩的寬度(FG的長;結(jié)果精確到0.1cm,可用科學計算器).
(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,sin70°≈0.940,cos70°≈0.342)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某數(shù)學興趣小組為了測量河對岸l1的兩棵古樹A、B之間的距離,他們在河這邊沿著與AB平行的直線l2上取C、D兩點,測得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之間的距離為50m,則古樹A、B之間的距離為_____m.
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【題目】已知在平面直角坐標系內(nèi),△ABC各頂點的坐標分別是A(﹣2,4),B(﹣4,3),C(﹣1,1).將△ABC向右平移5個單位長度,再向下平移4個單位長度得到△A′B′C′.
(1)請作出平移后的△A′B′C′,并寫出△A′B′C′各頂點的坐標;
(2)如果將△A′B′C′看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的,請指出這一平移的平移方向和平移距離.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,有一度數(shù)為60°的∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn).
(1)如圖①,若∠MAN的兩邊AM,AN分別交BC,CD于點E,F(xiàn),則線段CE,DF的大小關(guān)系如何?請證明你的結(jié)論;
(2)如圖②,若∠MAN的兩邊AM,AN分別交BC,CD的延長線于點E,F(xiàn),猜想線段CE,DF的大小關(guān)系如何?為什么?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=3,CD=4,點P是AC上一個動點(點P與點A,C不重合),過點P分別作PE⊥BC于點E,PF∥BC交AB于點F,連接EF,則EF的最小值為_____.
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【題目】如圖所示,在離水面高度5米的岸上有人用繩子拉船靠岸,開始時繩子BC的長度為13米,此人以每秒0.5米的速度收繩.問:
(1)未開始收繩的時候,圖中船B距岸A的長度AB是多少米?
(2)收繩10秒后船向岸邊移動了多少米?(結(jié)果保留根號)
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【題目】為宣傳“掃黑除惡”專項行動,社區(qū)準備制作一幅宣傳版面,噴繪時為了美觀,要在矩形圖案四周外圍增加一圈等寬的白邊,已知圖案的長為2米,寬為1米,圖案面積占整幅宣傳版面面積的90%,若設(shè)白邊的寬為x米,則根據(jù)題意可列出方程( )
A. 90%×(2+x)(1+x)=2×1 B. 90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C. 90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1 D. (2+2x)(1+2x)=2×1×90%
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【題目】如圖,在△ABC和△DEB中,已知AB=DE,還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一組條件是
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
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