【題目】問題探究
(1)如圖①,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,則線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,在△ADC中,AD=2,CD=4,∠ADC是一個(gè)不固定的角,以AC為邊向△ADC的另一側(cè)作等邊△ABC,連接BD,則BD的長是否存在最大值?若存在,請求出其最大值;若不存在,請說明理由;
問題解決
(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若BD⊥CD,垂足為點(diǎn)D,則對角線AC的長是否存在最大值?若存在,請求出其最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)BE+DF=EF;(2)存在,BD的最大值為6;(3)存在,AC的最大值為2+2.
【解析】
(1)作輔助線,首先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AEG,進(jìn)而得到EF=FG問題即可解決;
(2)將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE,由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,可得DE=BD,根據(jù)DE<DC+CE,則當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,問題即可解決;
(3)以BC為邊作等邊三角形BCE,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DBE是等邊三角形,則DE=AC,根據(jù)在等邊三角形BCE中,EF⊥BC,可求出BF,EF,以BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,可求出DF,則AC=DE≤DF+EF,代入數(shù)值即可解決問題.
(1)如圖①,延長CD至G,使得DG=BE,
∵正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠AFG=90°,
∴△ABE≌△ADG,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠GAF=∠EAF,
又∵AF=AF,
∴△AEF≌△AEG,
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF,
故答案為:BE+DF=EF;
(2)存在.
在等邊三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,
如圖②,將△ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BCE,連接DE.
由旋轉(zhuǎn)可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,
∴△DBE是等邊三角形,
∴DE=BD,
∴在△DCE中,DE<DC+CE=4+2=6,
∴當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí),DE存在最大值,且最大值為6,
∴BD的最大值為6;
(3)存在.
如圖③,以BC為邊作等邊三角形BCE,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,
∵AB=BD,∠ABC=∠DBE,BC=BE,
∴△ABC≌△DBE,
∴DE=AC,
∵在等邊三角形BCE中,EF⊥BC,
∴BF=BC=2,
∴EF=BF=×2=2,
以BC為直徑作⊙F,則點(diǎn)D在⊙F上,連接DF,
∴DF=BC=×4=2,
∴AC=DE≤DF+EF=2+2,即AC的最大值為2+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個(gè)形狀和大小完全一樣的梯形紙片如圖(a)所示擺放,將梯形紙片沿上底方向向右平移得到圖(b).已知,,若陰影部分的面積是四邊形的面積的.則圖(b)中平移距離為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,DG⊥AC于點(diǎn)G,交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:直線FG是⊙O的切線;
(2)若AC=10,cosA=,求CG的長.
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【題目】我市某學(xué)校在“行讀石鼓閣”研學(xué)活動(dòng)中,參觀了我市中華石鼓園,石鼓閣是寶雞城市新地標(biāo).建筑面積7200平方米,為我國西北第一高閣.秦漢高臺(tái)門闕的建筑風(fēng)格,追求穩(wěn)定之中的飛揚(yáng)靈動(dòng),深厚之中的巧妙組合,使景觀功能和標(biāo)志功能融為一體.小亮想知道石鼓閣的高是多少,他和同學(xué)李梅對石鼓閣進(jìn)行測量.測量方案如下:如圖,李梅在小亮和“石鼓閣”之間的直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記,這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng),李梅看著鏡面上的標(biāo)記,她來回走動(dòng),走到點(diǎn)D時(shí),看到“石鼓閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合,這時(shí),測得李梅眼睛與地面的高度ED=1.6米,CD=2.2米,然后,在陽光下,小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了29.4米,此時(shí)“石鼓閣”影子與小亮的影子頂端恰好重合,測得小亮身高1.7米,影長FH=3.4米.已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,測量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì),請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出“石鼓閣”的高AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合),在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,以下五個(gè)結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°其中完全正確的是( )
A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】充實(shí)而快樂的暑假生活即將結(jié)束,校學(xué)生會(huì)張同學(xué)采用隨機(jī)抽樣的方式對初三年級學(xué)生暑期生活進(jìn)行了問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果按照“A社會(huì)實(shí)踐類、B學(xué)習(xí)提高類、C游藝娛樂類、D其他”進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì),繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.(接受調(diào)查的每名同學(xué)只能在四類中選擇其中一種類型,不可多選或不選)請根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題:
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示B類的扇形圓心角是 度,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)張同學(xué)已從被調(diào)查的同學(xué)中確定了4名同學(xué)進(jìn)行開學(xué)后的經(jīng)驗(yàn)交流,其中A社會(huì)實(shí)踐類1人,B學(xué)習(xí)提高類3人,并計(jì)劃在這四人中選出兩人的寶貴經(jīng)驗(yàn)刊登在?希埨卯嫎錉顖D或列表的方法求出選出的恰好是A、B類各一人的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)等腰三角形底邊長為6cm,一腰上的中線把它的周長分成兩部分的差為2cm,則腰長為________.
(2)已知的周長為24,,于點(diǎn)D,若的周長為20,則AD的長為________.
(3)已知等腰三角形的周長為24,腰長為x,則x的取值范圍是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ΔABC中,AB=AC,∠A=40O,延長AC到D,使CD=BC,點(diǎn)P是ΔABD的內(nèi)心,則∠BPC=
A. 105° B. 110° C. 130° D. 145°
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【題目】如圖,CD是⊙O的直徑,AB,EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=16,CD=20,EF=12,則圖中陰影部分的面積是( 。
A. 96+25π B. 88+50π C. 50π D. 25π
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