【題目】如圖,已知二次函數(shù).
(1)求證:它的圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)這條拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),與y軸交于點(diǎn)C,且AB=4,⊙M過(guò)A,B,C三點(diǎn),求扇形MAC的面積S;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,PD⊥x軸于D,使△PBD被直線BC分成面積比為1:2的兩部分?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)(3)P為(2,-3)或(,).
【解析】
(1)計(jì)算判別式△=(m+3)2>0,即可判斷拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(2)根據(jù)拋物線的解析式,可表示出A、B的坐標(biāo),根據(jù)AB=4,可求出m的值,從而確定該拋物線的解析式,即可得到A、B、C的坐標(biāo);根據(jù)B、C的坐標(biāo),可得到∠OBC=45°,根據(jù)圓周角定理知∠AMC=90°,即△AMC是等腰直角三角形,AC的長(zhǎng)易求得,即可得到半徑AM、MC的長(zhǎng),利用扇形的面積公式,即可求得扇形AMC的面積.
(3)設(shè)PD與BC的交點(diǎn)為E,此題可分成兩種情況考慮:
①當(dāng)△BPE的面積是△BDE的2倍時(shí),由于△BDE和△BPD同高不等底,那么它們的面積比等于底邊的比,即DE=PD,可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),那么E點(diǎn)的縱坐標(biāo)是P點(diǎn)縱坐標(biāo)的,BD的長(zhǎng)為B、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值,由于∠OBC=45°,那么BD=DE,可以此作為等量關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
②當(dāng)△BDE的面積是△BPE的2倍時(shí),方法同①.
(1)∵△=(m+3)2>0,
∴與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(2)∵
∴
∴m=1
∴
∴A(-1,0),B(3,0),C(0.3)
∴M(1,1)
∴R=,n=90°
∴
(3)設(shè)P為(t, ),則D為(t,0)
因?yàn)?/span>,所以DP與BC的交點(diǎn)Q為(t,t-3)
當(dāng)△PBD被BC分為1:2兩部分時(shí),
即
解得t1=2,t2=3(舍),t3=3(舍),t4=
綜上,P為(2,-3)或(,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖 1,在等腰△ABC 中,AB=AC,點(diǎn) D,E 分別為 BC,AB 的中點(diǎn),連接 AD.在線段 AD 上任取一點(diǎn) P,連接 PB,PE.若 BC=4,AD=6,設(shè) PD=x(當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) D 重合時(shí),x 的值為 0),PB+PE=y.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y 隨自變量x 的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究. 下面是小明的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、計(jì)算,得到了 x 與 y 的幾組值,如下表:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 5.2 | 4.2 | 4.6 | 5.9 | 7.6 | 9.5 |
說(shuō)明:補(bǔ)全表格時(shí),相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù).(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,≈2.236)
(2)建立平面直角坐標(biāo)系(圖 2),描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;
(3)求函數(shù) y 的最小值(保留一位小數(shù)),此時(shí)點(diǎn) P 在圖 1 中的什么位置.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=上,點(diǎn)B在雙曲線y=(k≠0)上,AB∥x軸,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D.連接OB,與AD相交于點(diǎn)C,若AC=2CD,則k=__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=-x2+5x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.
(1)求n的值和D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,、分別在、上,,且,點(diǎn)是的中點(diǎn),延長(zhǎng)、相交于點(diǎn),連接.
(1)求證:
(2)若,,求的周長(zhǎng)和的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,垂足為,點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn),作交于點(diǎn),交線段于點(diǎn),設(shè).
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng);
(2)設(shè)的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
(3)若為直角三角形,求出的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y1=(k1﹥0)與一次函數(shù)y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B兩點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△OAC的面積為1,且tan∠AOC=2.
(1)求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo),并指出當(dāng)x為何值時(shí),反比例函數(shù)y1的值大于一次函數(shù)y2的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB交雙曲線 于A,B兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)C,且BC= AB,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M,連結(jié)OA,若OM=3MC,S△OAC=8,則k的值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AB,AD上的點(diǎn),∠FEC=∠FCE=45°.
(1)求證:AF=CD.
(2)若AD=3,△EFC的面積為4,求線段BE的長(zhǎng).
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