【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,已知OA=,tan∠AOC=.
(1)求a,k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)觀(guān)察圖象,請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式ax﹣1≥的解集;
(3)在y軸上存在一點(diǎn)P,使得△PDC與△ODC相似,請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)a= ,k=3, B(-,-2) (2) ﹣≤x<0或x≥3;(3) (0,)或(0,0)
【解析】
1)過(guò)A作AE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,在Rt△AOE中,根據(jù)tan∠AOC的值,設(shè)AE=x,得到OE=3x,再由OA的長(zhǎng),利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出A坐標(biāo),將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出a的值,代入反比例解析式求出k的值,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo);
(2)由A與B交點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)圖象確定出所求不等式的解集即可;
(3)顯然P與O重合時(shí),滿(mǎn)足△PDC與△ODC相似;當(dāng)PC⊥CD,即∠PCD=時(shí),滿(mǎn)足三角形PDC與三角形CDO相等,利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等得到三角形PCO與三角形CDO相似,由相 似得比例,根據(jù)OD,OC的長(zhǎng)求出OP的長(zhǎng),即可確定出P的坐標(biāo).
解:(1)
過(guò)A作AE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,
在Rt△AOE中,OA=,tan∠AOC=,
設(shè)AE=x,則OE=3x,
根據(jù)勾股定理得:OA2=OE2+AE2,即10=9x2+x2,
解得:x=1或x=﹣1(舍去),
∴OE=3,AE=1,即A(3,1),
將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax﹣1中,得:1=3a﹣1,即a=,
將A坐標(biāo)代入反比例解析式得:1=,即k=3,
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例解析式得:,
消去y得: x﹣1=,
解得:x=﹣或x=3,
將x=﹣代入得:y=﹣1﹣1=﹣2,即B(﹣,﹣2);
(2)由A(3,1),B(﹣,﹣2),
根據(jù)圖象得:不等式x﹣1≥的解集為﹣≤x<0或x≥3;
(3)顯然P與O重合時(shí),△PDC∽△ODC;
當(dāng)PC⊥CD,即∠PCD=90°時(shí),∠PCO+∠DCO=90°,
∵∠PCD=∠COD=90°,∠PCD=∠CDO,
∴△PDC∽△CDO,
∵∠PCO+∠CPO=90°,
∴∠DCO=∠CPO,
∵∠POC=∠COD=90°,
∴△PCO∽△CDO,
∴=,
對(duì)于一次函數(shù)解析式y=x﹣1,令x=0,得到y=﹣1;令y=0,得到x=,
∴C(,0),D(0,﹣1),即OC=,OD=1,
∴=,即OP=,
此時(shí)P坐標(biāo)為(0,),
綜上,滿(mǎn)足題意P的坐標(biāo)為(0,)或(0,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),直線(xiàn)AB為⊙O的切線(xiàn),B為切點(diǎn).則B點(diǎn)的坐標(biāo)為( 。
A. (﹣,) B. (﹣,1) C. (﹣,) D. (﹣1,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已如點(diǎn)A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一根長(zhǎng)為2019個(gè)單位長(zhǎng)度沒(méi)有彈性的細(xì)線(xiàn)(線(xiàn)的相細(xì)忽略不計(jì))的一端固定在A處,并按的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上,則細(xì)線(xiàn)的另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”.為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校購(gòu)進(jìn)《西游記》和《三國(guó)演義》若干套,其中每套《西游記》的價(jià)格比每套《三國(guó)演義》的價(jià)格多40元,用3200元購(gòu)買(mǎi)《三國(guó)演義》的套數(shù)是用2400元購(gòu)買(mǎi)《西游記》套數(shù)的2倍,求每套《三國(guó)演義》的價(jià)格.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,MP和NQ分別垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周長(zhǎng)為12,求BC的長(zhǎng);
(2)∠BAC=105°,求∠PAQ的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋,是被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程,它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作.開(kāi)通后從香港到珠海的車(chē)程由原來(lái)的180千米縮短到50千米,港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速比按原來(lái)路程行駛的平均時(shí)速多40千米,若開(kāi)通后按設(shè)計(jì)時(shí)速行駛,行駛完全程時(shí)間僅為原來(lái)路程行駛完全程時(shí)間的,求港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器,從某時(shí)刻開(kāi)始分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水.在隨后的分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水,直到容器內(nèi)的水量達(dá)到.如圖,坐標(biāo)系中的折線(xiàn)段表示這一過(guò)程中容器內(nèi)的水量(單位:)與時(shí)間(單位:分)之間的關(guān)系.
(1)單獨(dú)開(kāi)進(jìn)水管,每分鐘可進(jìn)水________;
(2)求進(jìn)水管與出水管同時(shí)打開(kāi)時(shí)容器內(nèi)的水量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)容器內(nèi)的水量達(dá)到時(shí),立刻關(guān)閉進(jìn)水管,直至容器內(nèi)的水全部放完.請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出表示放水過(guò)程中容器內(nèi)的水量與時(shí)間關(guān)系的線(xiàn)段,并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖的圖形取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》也稱(chēng)(《趙爽弦圖》),它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如圖所示,如果大正方形的面積是,小正方形的面積是,直角三角形較短的直角邊為,較長(zhǎng)的直角邊為,試求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某天我國(guó)一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時(shí),發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點(diǎn)有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點(diǎn)在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時(shí)D點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為75海里.
(1)求B點(diǎn)到直線(xiàn)CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(≈1.414,≈1.732,結(jié)果精確到0.1海里)
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