Question

【題目】如圖1，圖2中，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC—CD以每秒2個單位長的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，以BP為邊作等邊三角形BPQ，使點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)或邊上，當(dāng)點(diǎn)Q恰好運(yùn)動到AD邊上時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t≥0）。

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)Q到BC的距離＝_____；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí)，求CQ的最小值及此時(shí)t的值；

（3）若點(diǎn)Q在AD邊上時(shí)，如圖2，求出t的值；

（4）直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動路線的長。

Answer 1

【答案】（1） ；（2）t=,CQ=3;(3) ;(4)

【解析】試題分析：過點(diǎn)作用三角函數(shù)的知識即可求出點(diǎn)Q到BC的距離，

點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí)，有，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，CQ最小，作圖，求解即可.

若點(diǎn)Q在AD邊上，則證明Rt△BAQ≌Rt△BCP，

根據(jù)列出方程求解即可.

點(diǎn)Q運(yùn)動路線的長等于點(diǎn)運(yùn)動的路線長：

試題解析：如圖：

過點(diǎn)作

當(dāng)時(shí)，

是等邊三角形，

故答案為：

點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí)，有，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，CQ最小，

如圖，在直角三角形BCQ中，，

∴

∴

∴

（3）若點(diǎn)Q在AD邊上，則

∵

∴Rt△BAQ≌Rt△BCP（HL）,

∴

∴

∵，且由勾股定理可得，

∴

解得：（不合題意，舍去），

∴.

（4）點(diǎn)Q運(yùn)動路線的長等于點(diǎn)運(yùn)動的路線長：