Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-3x+交y軸于點E，C為拋物線的頂點，直線AD：y=kx+b（k＞0）與拋物線相交于A，D兩點（點D在點A的下方）．

（1）當k=2，b=-3時，求A，D兩點坐標；

（2）當b=2-3k時，直線AD交拋物線的對稱軸于點P，交線段CE于點F，求的最小值；

（3）當b=0時，若B是拋物線上點A的對稱點，直線BD交對稱軸于點M，求證：PC=CM．

Answer 1

【答案】（1）A（8，），D（2，）．（2）的最小值為．（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）將兩函數解析式聯(lián)立即可組成方程組，解方程組即可；

（2）設D（t，t2-3t+），N（t，-t+），得出ND=-t2+t=-（t-）2+，即可求出最大值；

（3）設點A、D的坐標分別為A（x1，y1）、D（x2，y2），設P、M的坐標分別為P（3，n），M（3，m），連接AB交PC于點H，過點D作DG∥x軸交PC于點G，如圖2，則DG∥AB∥x軸，得到方程②③④，將②、③、④代入①中，得m=-3k即可．

試題解析：（1）當k=2，b=-3時，直線方程化為y=2x-3，

聯(lián)立兩方程可得，

解得，；

可知，A（8，），D（2，）．

（2）∵y=（x-3）2，

∴點P的橫坐標為3，

當x=3，b=2-3k時，y=2，

∴點P的坐標為（3，2），

∵CE的解析式為y=-x+，

過點D作DN∥PC交CE于點N，如圖1，

∴，

設D（t， t2-3t+），N（t，-t+），

∴ND=-t2+t=-（t-）2+，

當t=時，ND的最大值為．

∴的最小值為．

（3）設點A、D的坐標分別為A（x1，y1）、D（x2，y2），設P、M的坐標分別為P（3，n），

M（3，m），

∵點A、D在直線y=kx與拋物線的交點，

∴kx1=x12-3x1+，kx2=x22-3x2+，

∴x1、x2是方程x2-3x+=0的兩根．

∴x1+x2=6+2k，x1x2=9，

連接AB交PC于點H，過點D作DG∥x軸交PC于點G，如圖2，

則DG∥AB∥x軸，

∴，，

∵BH=AH，

∴，

即，

∴（y2-m）（y1-n）=（y1-m）（n-y2），

整理得2y1y2+2mn=（y1+y2）（m+n）①，

∵x1+x2=6+2k，x1x2=9，

∴y1y2=k2x1x2=9k2②，y1+y2=6k+2k2③，

∵點P（3，n）在直線y=kx上，

∴n=3k④，

將②、③、④代入①中，得m=-3k，

∵定點C的坐標為（3，0），

∴PC=MC．